Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Kamp Sınavları => 2001 - Lise Yaz => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 29, 2023, 05:22:16 ös
-
Her $z$ tam sayısı için $f(f(z))=z+2$ koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb Z \to \mathbb Z$ fonksiyonlarını bulunuz.
-
$f(f(z))=z+2$ ise $$f(f(f(z)))=f(z+2)=f(z)+2$$ bulunur. Dolayısıyla sadece $f(0)$ ve $f(1)$ değerleri önemlidir. Bu ikisini biliyorsak, tüm $f(z)$'leri bulabiliriz. Basit bir teleskopik toplam ile $$f(n)=\begin{cases} f(0)+n,\quad n\equiv 0\pmod{2} \\ f(1)+n-1,\quad n\equiv 1\pmod{2}\end{cases}$$ elde edilir.
Eğer $f(0)$ çiftse, çift olan herhangi bir $z$ için $$f(f(z))=f(f(0)+z)=2f(0)+z\implies f(0)=1$$ çelişkisi elde edilir. $f(0)$ tektir. Bu durumda, çift olan herhangi bir $z$ için $$f(f(z))=f(f(0)+z)=f(1)+f(0)+z-1\implies f(0)+f(1)=3$$ elde edilir. Yani $f(1)$ çifttir. Tek olan herhangi bir $z$ için $$f(f(z))=f(f(1)+z-1)=f(0)+f(1)+z-1=z+2$$ elde edilir. Dolayısıyla $f(0)+f(1)=3$ ve $f(1)$'ın çift olması yeterlidir. Herhangi bir $k$ tamsayısı için $f(1)=2k$ dersek, $$\boxed{f(n)=\begin{cases} n-2k+3,\quad n\equiv 0\pmod{2} \\ n+2k-1,\quad n\equiv 1\pmod{2}\end{cases}}$$ fonksiyonu bulunur. Bu da $f(f(z))=z+2$ eşitliğini sağlar.