Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Kamp Sınavları => 2000 - Ortaokul Yaz => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 20, 2023, 10:52:38 ös
-
Kenar uzunluğu $1$ olan $n^3$ adet küpün istiflenmesiyle oluşturulan bir küpün $6$ yüzünden bazıları boyanıyor. En az bir yüzü boyanmış olan küçük küplerin sayısı $168$ olduğuna göre $n$ yi bulunuz.
-
Çözüm: $1$ yüzey boyanırsa $n^2 = 168$ olmalı. Bu durumda tam sayı çözüm yoktur.
$2$ yüzey boyanırsa, yüzeylerin ortak ayrıtı yoksa $2n^2 = 168$ dir. Bu denklemin tam sayı çözümü yoktur. Yüzeylerin ortak ayrıtı varsa $2n^2 - n = 168$ dir. $n(2n-1) = 168 = 8\cdot 3 \cdot 7$ yazılırsa uygun bir $n$ pozitif tam sayısı yoktur.
$3$ yüzey boyanırsa, yüzeylerin iki veya üç ortak ayrıtı olabilir. $3n^2 - 2n = 168$ için $n(3n-2) = 8\cdot 3 \cdot 7$ yazılırsa uygun bir $n$ pozitif tam sayısı yoktur. $3n^2 - 3n = 168$ için $3n(n-1) = 8\cdot 3 \cdot 7$ denkleminden $n=8$ bulunur.
Ayrıca $4$ yüzey boyanırsa ve boyalı olmayan yüzeyler birbirine paralel olursa $4n^2 - 4n = 168 = 8\cdot 3 \cdot 7$ olup $n(n-1)=7\cdot 6$ denklemi elde edilir. Buradan $n=7$ pozitif tam sayı çözümü bulunur.
$5$ veya $6$ yüzeyin boyandığı durumlarda çözüm gelmediği gözlemlenebilir. Sonuç olarak $n$ nin alabileceği iki değer vardır. $n\in \{ 7, 8\}$.