Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2005 - Lise 1 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 03, 2023, 11:48:38 ös
-
$OKEK(x,y)=\dfrac13(x^2-4y)$ denkleminin pozitif tam sayılarda tüm çözümlerini bulunuz.
(Not : $OKEK(x,y)$ simgesi $x$ ve $y$ sayılarının ortak katlarının en küçüğünü göstermektedir.)
-
$OBEB(x,y)=d$ olsun. Bu durumda $OBEB(a,b)=1$ ve $x=ad$, $y=bd$ olacak şekilde $a$, $b$ pozitif tamsayıları vardır. Bu $a,b,d$ değerleri için $OKEK(x,y)=abd$'dir. Dolayısıyla verilen denklemden $$3abd=a^2d^2-4bd\implies 3ab+4b=b(3a+4)=a^2d$$ elde edilir. $b\mid a^2d$ olacaktır ancak $OBEB(a,b)=1$ olduğundan $b\mid d$ olmalıdır. Buradan $k\in\mathbb{Z}$ için $d=bk$ yazabiliriz. Sonuç olarak denklemden bu sefer $$b(3a+4)=a^2bk\implies k=\frac{3a+4}{a^2}$$ elde edilir. $a^2\mid 3a+4$ olması gerektiğinden $a\mid 4$ olacağını kolaylıkla görebiliriz. Buradan $a=1,2,4$ ihtimalleri bulunur.
$a=4$ ise $k=1$ bulunur. Buradan da $d=b$ ve $OBEB(b,4)=1$ için veya denk olarak $b$ tek tamsayısı için $(x,y)=(4b,b^2)$ bulunur. $b$'nin tek olma koşulunu kaldırmak için $t\geq 1$ için $b=2t-1$ yazabiliriz. Bu durumda $(x,y)=(4(2t-1),(2t-1)^2)$ olur.
$a=2$ ise $k\not\in\mathbb{Z}$ olacağından çözüm gelmez.
$a=1$ ise $k=7$ bulunur. Yani $d=7b$ olacaktır. $a=1$ olduğundan $OBEB(a,b)=1$ koşulu her zaman sağlanır ve $(x,y)=(7b,7b^2)$ elde edilir.
Tüm çözümler, herhangi bir $t$ pozitif tamsayısı için $(x,y)=(8t-4,4t^2-4t+1)$ ve $(7t,7t^2)$'dir.