Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2023 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 03, 2023, 06:55:26 ös
-
$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları
$$\begin{array}{rcl} x+y+z &=& 10\\ \sqrt{36-x^2}+\sqrt{49-y^2}+\sqrt{169-z^2} &=& 24 \end{array}$$
denklemlerini sağlıyorsa $\dfrac{xz}{y}$ aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{30}{7} \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 6 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{65}{8} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{49}{3}$
-
Cevap: $\boxed{A}$
Köklerin tanımlı olabilmesi için $6\geq x>0$, $7\geq y>0$ ve $13\geq z>0$ olmalıdır. Koordinat düzlemini ele alalım. $A(\sqrt{36-x^2},x)$, $B(\sqrt{36-x^2}+\sqrt{49-y^2},x+y)$ ve $C(\sqrt{36-x^2}+\sqrt{49-y^2}+\sqrt{169-z^2},x+y+z)=C(24,10)$ olsun. Bu durumda $O$ orijin olmak üzere, $$|OA|=6,\quad\quad |AB|=7,\quad\quad |BC|=13$$ olacaktır. Ayrıca $|OC|=\sqrt{24^2+10^2}=26$'dır. $$|OA|+|AB|+|BC|=26=|OC|$$ olduğundan üçgen eşitsizliğinden $O,A,B,C$ doğrusal olmalıdır. Buradan $x:y:z=6:7:13$ olmalıdır. $x=6k$, $y=7k$ ve $z=13k$ için $x+y+z=26k=10$ olduğundan $k=\frac{5}{13}$ olacaktır. Buradan da $$\frac{xz}{y}=\frac{78k^2}{7k}=\frac{78k}{7}=\frac{78\cdot 5}{13\cdot 7}=\frac{30}{7}$$ elde edilir.
-
Diğer bir yol: $x+y+z=10$ kullanarak,
\[
S_1 = (6-x)+(7-y)+(13-z) = 16 \quad\text{ve}\quad S_2 = (6+x)+ (7+y)+(13+z) = 36
\]
elde edilir. Şimdi, Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden
\[
36\times 16 = S_1 S_2 \ge (\sqrt{36-x^2}+\sqrt{49-y^2}+\sqrt{169-z^2})^2=576,
\]
bulunur, dolayısıyla $\frac{6-x}{6+x} = \frac{7-y}{7+y}=\frac{13-z}{13+z}=\frac{4}{9}$ sağlanmalıdır. Buradan $xz/y = 30/7$ elde edilir.
-
$6$ ve $7$ ifadelerinin toplamının $13$ e eşit olması tesadüf değildir. Burada tamamen kök ve tamkareden tamkare çıkarımı bize aslında geometrik bir konjektür oluşturabileceğimiz hakkında fikir veriyor.
$$\angle{ABC}=\angle{ADE}=\angle{EFC}=90^\circ$$
olmak üzere hipotenüsü $13$ olan bir üçgen ($\Delta{ABC}$) çizip $BC$ tabanına $z$ diyelim. Diğer iki köklü ifade için de üçgenler ($\Delta{ADE}$, $\Delta{EFC}$) oluşturduğumuzda, bunların hipotenüsünü $13$ hipotenüsüne sıra fark etmeksizin yerleştirelim. Bunların $z$'ye paralel kısımlarına $x$ ve $y$ verirsek aslında soruda verilen
$$\sqrt{36-x^2}+\sqrt{49-y^2}+\sqrt{169-z^2} =|AB|+|DE|+|FC|=2|AB|=24 $$
$$2|AB|=12 \Rightarrow z=5$$
Ayrıca şekilden $x+y=5$ elde edilir. Buradan $x,y$ yi bulabiliriz fakat daha direkt bir çözüm olması amacıyla benzerlikten $\dfrac{x}{y}=\dfrac{6}{7}$ olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla
$$\dfrac{xz}{y}=5\cdot \dfrac{6}{7}=\boxed{\dfrac{30}{7}}$$