Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2023 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 03, 2023, 05:20:44 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 13
Gönderen: matematikolimpiyati - Temmuz 03, 2023, 05:20:44 ös

Bir kenarının uzunluğu $6$ olan $ABCD$ karesinin $[BC]$ kenarı üzerinde $|BE|=4$ olan bir $E$ noktası alınıyor. $DE \cap AB = \{K\}$ ve $AE \cap DC = \{L\}$ olmak üzere, $EKL$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13\sqrt{10}}{6}  \qquad\textbf{b)}\ 6  \qquad\textbf{c)}\ 9  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{8\sqrt{13}}{3}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 13
Gönderen: geo - Temmuz 05, 2023, 09:08:13 ös

Yanıt: $\boxed A$

$KBCF$ dikdörtgenini kuralım.
$BK=12$, $BE=4$, $CE=2$, $LF=9$, $KF=6$.

size(12cm);

pair A=(0,6);
pair B=(6,6);
pair C=(6,0);
pair D=(0,0);

pair K=(18,6);
pair F=(18,0);

// E is on BC with BE=4 and EC=2
pair E=(6,2);

// L is intersection of line AE with y=0
pair L=extension(A,E,C,D);

// Main figure
draw(A--K);
draw(D--F);

draw(A--D);
draw(B--C);
draw(K--F);

draw(A--L);
draw(D--K);

// Dashed red segment
draw(L--K,dashed+red);

// Red auxiliary bottom/right
draw(L--F,red);
draw(K--F,red);

// Points
dot("$A$",A,dir(135));
dot("$B$",B,dir(90));
dot("$C$",C,dir(-90));
dot("$D$",D,dir(-135));
dot("$E$",E,dir(65));
dot("$K$",K,dir(45));
dot("$L$",L,dir(-90));
dot("$F$",F,dir(-90));

// Labels
label("$6$",midpoint(A--B),N);
label("$12$",midpoint(B--K),N,red);

label("$4$",midpoint(B--E),E);
label("$2$",midpoint(E--C),E,red);

label("$3$",midpoint(C--L),S,red);
label("$9$",midpoint(L--F),S,red);

label("$6$",midpoint(K--F),E,red);

$\begin{array}{lcl}
\text{Alan}(KEL) &=& \text{Alan}(BKFC)-\text{Alan}(BEK)-\text{Alan}(CEL)-\text{Alan}(KFL)\\
&=& 72-24-3-27 \\
&=& 18
\end{array}$.
(Alternatif olarak $\text{Alan}(KEL)=\text{Alan}(AED)=\text{Alan}(ABCD)/2=18$)

Üçgenin çevrel yarıçapının kullanıldığı alan formülünden $$\text{Alan}(KEL)=\dfrac{KE\cdot EL\cdot LK}{4R}=18$$
$R=\dfrac{4\sqrt{1^2+3^2}\cdot \sqrt{2^2+3^2}\cdot 3\sqrt{2^2+3^2}}{4\cdot 18}=\dfrac{13\sqrt{10}}{6}$.