Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2023 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 03, 2023, 04:07:03 ös
-
$A$ ve $B$ koşucuları yuvarlak bir pistte aynı noktadan aynı yöne doğru koşmaya başlıyorlar. $B$ nin hızı $A$ nınkinden $\% 45$ fazladır. Bu pist üzerinde iki koşucunun aynı anda bulunduğu kaç farklı nokta vardır?
$\textbf{a)}\ 5 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ 60$
-
A koşucunun hızı a ve B koşucunun hızı da b olsun. B nin hızı A nın hızından %45 daha fazladır.
$b=1.45a$
Pistin çevresi c kadar olsun. Aynı anda aynı yöne doğru koşuyorlarsa aralarındaki uzaklık bir t anında
$1.45at-at=0.45at=\frac{9}{20}at$ olur. Bu değerden pistin çevresinin m tamsayı katını atalım. Geriye kalan değerde 0 olduğunda aynı noktadadırlar.
$\frac{9}{20}at-mc=0$ olur.
$at=\frac{20mc}{9}\ $
A koşucusunun her aynı noktada bulundukları andaki aldığı yol
$x=at=\frac{20mc}{9}=2mc+\frac{2mc}{9}\ $
Seçilecek m tamsayı değerlerine göre de pistin çevresinin tam katlarını atalım. Önce 2mc yi atalım.
m=0 dan m=8 kadar x değerlerini bulalım c nin katları atılacaktır. Diğer m değerlerinde periyodik olarak aynı değerleri vermektedir.
$0\ ,\ \frac{2c}{9}\ ,\ \ \frac{4c}{9}\ ,\frac{6c}{9}\ ,\ \ \frac{8c}{9},\ \frac{c}{9}\ ,\ \ \frac{3c}{9},\ \frac{5c}{9}\ ,\ \ \frac{7c}{9}\ $ olmak üzere 9 farklık değer alır.