Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2023 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Temmuz 03, 2023, 03:44:03 ös
-
Başlangıçta bir masa üzerinde boş bir kırmızı ve boş bir beyaz kutu bulunuyor. Her işlemde ya kırmızı kutuya $2$ top ya beyaz kutuya $2$ top ya da kırmızı ve beyaz kutulara $1$'er top ekleniyor. $5$ işlem, işlemler sonucunda kutuların her birinde $5$ top bulunacak biçimde kaç farklı şekilde yapılabilir?
$\textbf{a)}\ 42 \qquad\textbf{b)}\ 45 \qquad\textbf{c)}\ 48 \qquad\textbf{d)}\ 51 \qquad\textbf{e)}\ 54$
-
Cevap D.
İşlemlerimizi gösterim kolaylığı için tanımlayalım.
İşlem 1: Kırmızıya 2 top. (1)
İşlem 2: Beyaza 2 top. (2)
İşlem 3: İkisine de 1 top. (3)
Kutuların her birinde 5 top bulunması için uygulanabilecek işlemler (3)+(3)+(3)+(3)+(3), (3)+(3)+(3)+(1)+(2) ve (3)+(1)+(1)+(2)+(2) şeklindedir. Bu işlemlerin sıralanışı durumu etkileyeceğinden tekrarlı permütasyon uygulanır.
5!/5! + 5!/3! + 5!/2!2! = 1+20+30 = 51 farklı durum eder. Cevabımız elli birdir.
-
Kırmızı kutuya 2 top eklenen işlem sayısı $x_1 $,beyaz kutuya 2 top eklenen işlem sayısı $ x_2 $ ve
kutulara 1' er top eklendiği işlem sayısı $x_3 $ olsun.
$ x_1+x_2+x_3=5 $
$ 2x_1+x_3=5 $
$ 2x_2+x_3=5 $
yazabiliriz. Burada $ x_1=x_2 $ bulunur.
Tüm bunların çözümünden
$ x_1=x_2=0$ ve $x_3=5 $
$ x_1=x_2=1$ ve $x_3=3 $
$ x_1=x_2=2$ ve $x_3=1 $ olmak üzere üç çözüm vardır.
$ ( x_1 ,x_2,x_3 ) $ üçlüsü $ (0,0,5) ,(1,1,3) ve (2,2,1) $ dir.
$ x_1$ sayısını a ile $x_2$ sayısını b ile ve $x_3$ sayısını c ile temsil edelim.
$ (0,0,5)$ için ccccc nin farklı sıralanma sayısı$=5!/5! =1$
$(1,1,3)$ için abccc nin farklı sıralanma sayısı$=5!/3! =20 $
$ (2,2,1)$ için aabbc nin farklı sıralanma sayısı$=5!/(2!2!) =30 $
olmak üzere $ 1+20+30=51$ farklı şekilde yerleştirme yapılabilir.