Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Haziran 25, 2023, 03:16:11 öö
-
$p\equiv 3\pmod{4}$ olan sonsuz tane $p$ asal sayısı olduğunu gösteriniz.
-
İspat: İspatı, olmayana ergi (çelişki) yöntemiyle yapalım. Teoremin ifadesinin yanlış olduğunu varsayalım. $4k+3$ formundaki $3$ ten büyük tüm asal sayılar $p_1, p_2, \dots, p_n$ olsun. Bu formdaki tüm asalların kümesini $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ ile gösterelim. Örneğin $p_1=7$ dir. Yani her $1\leq i\leq n$ için $p_i \equiv 3 \pmod{4}$ olsun. O halde
$$ P = 4\cdot p_1 p_2 \cdots p_n + 3$$
sayısını tanımlarsak $P\equiv 3 \pmod{4}$ olur. $P$ sayısı $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ kümesinin bir elemanı değildir. Ayrıca $2\nmid P$, $3\nmid P$ ve her $i$ için $p_i \nmid P$ dir. O halde $P$ nin asal bölenleri $q_j \equiv 1 \pmod{4}$ formundaki sayılardan oluşmaktadır. Burada $1 \leq j \leq m$ biçiminde tam sayılar olup $P= q_1^{a_1}q_2^{a_1}\cdots q_m^{a_m}$ biçiminde asal çarpanlara ayrılır. Bu ifadeyi modülo $4$ te incelersek, her bir çarpan $1$ kalanı verdiğinden $P\equiv 1 \pmod{4}$ elde edilir. Bu ise başlangıçta bulduğumuz $P\equiv 3 \pmod{4}$ bilgisiyle çelişir.
Bu çelişkinin oluşma sebebi $S$ kümesinin sonlu elemanlı kabul edilmesidir. Yani, teoremin ifadesi doğru olup $p\equiv 3 \pmod{4}$ formunda sonsuz çoklukta asal sayı vardır.