Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Haziran 17, 2023, 02:51:39 ös
-
$P(x)=x^3-3x^2+6x+1$ polinomu için
(a) Bu polinomun tek reel kökü olduğunu gösterin.
(b) Reel olan kökünü bulunuz.
-
$(a)$ $x^2$'li terimi yok etmek için $Q(x)=P(x+1)=x^3+3x+5$ polinomunu inceleyelim. Eğer $P$'nin her kökü $r$ için $r-1$ de $Q$'nun kökü olacağından kök sayıları eşittir. Dolayısıyla $Q$'nun $1$ kökü olduğunu göstermeliyiz. Üçüncü dereceden olduğundan en az bir kökü vardır. $Q$'nun lokal ekstremumlarına bakalım. $$Q'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$ olduğundan $x=\pm 1$'de lokal eksteremum vardır. $Q(1)=9>0$ ve $Q(-1)=1>0$ olduğundan (işaretleri aynı olduğundan), Rolle teoreminden $Q$'nun tek reel kökü olmalıdır. Dolayısıyla $P$'nin de tek reel kökü vardır.
$(b)$ $Q(x)=P(x+1)=x^3+3x+5$ polinomunun kökünü bulalım. Bunun için $t=a-\frac{1}{a}$ şeklinde bir $t$ için $$t^3=a^3-3a+\frac{3}{a}-\frac{1}{a^3}=a^3-\frac{1}{a^3}-3t\implies t^3+3t-\left(a^3-\frac{1}{a^3}\right)=0$$ olur. Yani $a^3-\frac{1}{a^3}=-5$ olan bir $a$ varsa $x=a-\frac{1}{a}$, $Q$ polinomunun kökü olacaktır. $$a^3-\frac{1}{a^3}=-5\implies a^6+5a^3-1=0\implies a^3=\frac{-5\pm \sqrt{29}}{2}\implies a=\sqrt[3]{\frac{-5\pm \sqrt{29}}{2}}$$ olacaktır. Eşlenikten olduğundan dolayı iki $a$ değeri de aynı kökü verecektir. Bu yüzden $a=\sqrt[3]{\frac{-5+ \sqrt{29}}{2}}$ alabiliriz. Eşleniği $\frac{1}{a}=\sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}$ olacaktır. Buradan $Q$'nun tek kökü $$x=\sqrt[3]{\frac{-5+ \sqrt{29}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}$$ olacaktır. $Q$'nun her $r$ kökü için $r+1$ de $P$'nin kökü olduğundan $P$'nin tek kökü $$\boxed{x=\sqrt[3]{\frac{-5+ \sqrt{29}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{5+\sqrt{29}}{2}}+1}$$ olacaktır.
-
Biraz düzenlemeyle $P(x)=(x-1)^3+3x+2$.
$y=(x-1)^3$ ile $y=-3x-2$ fonksiyonlarının grafiklerini çizersek tek gerçel çözüm olduğunu görebiliriz.
Bu aşamadan sonra Metin Can Aydemir'in çözümünü Wikipedia'daki Kübik Denklemlerin genel çözümünün anlatıldığı makaledeki adımları izleyerek tekrarlayacağım.
Vieta'nın Değişken Değiştirme (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Vieta's_substitution) metodunu uygulamak için polinomu $x^3+px+q$ formuna (ing. depressed form) dönüştürmek gerekiyor.
$x\rightarrow x+1$ şeklinde bir dönüşümün polinomu baskılanmış (depressed) forma dönüştürdüğü aşikar.
Wikipedia (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Depressed_cubic)daki yönteme göre $ax^3+bx^2+cx+d$ şeklindeki bir polinom $x\rightarrow x-\dfrac {b}{3a}$ dönüşümü ile baskılanmış forma dönüştürülür. Bu bizim sorumuzda $\boxed{x\rightarrow x+1}$ dönüşümüne denk oluyor. $P(x+1)= x^3+3x+5$.
Vieta'nın Değişken Değiştirme (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Vieta's_substitution) metoduna göre $x^3+px+q$ polinomunda $x\rightarrow x-\dfrac{p}{3x}$ şeklinde değişken değiştirmemiz gerekiyor. Bizim sorumuzda $\boxed{x\rightarrow x - \dfrac 1x}$ dönüşümü ile $P(x-\frac 1x+1)=\left (x-\dfrac 1x \right )^3+3\left (x-\dfrac 1x \right )+5=x^3-\dfrac 1{x^3}+5$ elde ederiz.
Son bir kez $\boxed{x\rightarrow \sqrt[3]{x}}$ dönüşümü yaparsak $P(\sqrt[3]{x}-\frac 1{\sqrt[3]{x}}+1)=x-\dfrac 1x + 5 = 0$ elde ederiz.
$x^2+5x-1=0$ denkleminin çözümleri $x_{1,2}=\dfrac {-5\pm \sqrt{29}}{2}$ dir.
O halde aradığımız değer $P(\sqrt[3]{x}-\frac 1{\sqrt[3]{x}}+1) = P\left (\sqrt[3]{\frac {-5\pm \sqrt{29}}{2}}-\frac 1{\sqrt[3]{\frac {-5\pm \sqrt{29}}{2}}}+1\right )=0$ dir.
$x_1x_2=-1$ olduğu için de Metin Can Aydemir'in anlattığı gibi paydayı eşlenikle çarparsak $ P\left (\sqrt[3]{\frac {-5\pm \sqrt{29}}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-5\mp \sqrt{29}}{2}}+1\right ) = P\left (\sqrt[3]{\frac {-5+ \sqrt{29}}{2}}+\sqrt[3]{\frac {-5- \sqrt{29}}{2}}+1\right )=0$ elde ederiz.