Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2003 - Lise 2 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 04, 2023, 12:30:32 öö
-
$x,y$ ve $z$ tam sayıları
$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}=3$$
eşitliğini sağlarsa, $xyz$ çarpımının bir tam sayının küpü olduğunu gösteriniz.
-
Eğer $x,y,z$'nin üçü birden pozitifse veya üçü birden negatifse $x,y,z$ yerine $\epsilon|x|,\epsilon|y|,\epsilon|z|$ yazabiliriz ($\epsilon=\pm 1$). Aritmetik-geometrik eşitsizlikten $$\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\geq 3$$ elde edilir. Eşitlik durumu $|x|=|y|=|z|$ iken sağlanır. İşaretleri aynı olduğundan $x=y=z$ ve $xyz=x^3$'dür.
$(+,+,-)$ ve $(-,-,+)$ durumlarının $(x,y,z)\to (-x,-y,-z)$ dönüşümüyle aynı duruma çıkacağı görülebilir. Dolayısıyla sadece iki pozitif, bir negatif durumunu incelememiz yeterlidir. Genelliği bozmadan $x,y>0$ ve $z<0$ olsun. $(x,y,z)=(a,b,-c)$ yazarsak, tüm değişkenler pozitif olur ve $xyz=-abc$ olacağından $abc$'nin tamküp olduğunu göstermemiz yeterlidir. $EBOB(a,b,c)=d$
ise $a,bc$ yerine $\frac{a}{d},\frac{b}{d},\frac{c}{d}$ yazabileceğimizden ve $abc$'nin tamküplüğü değişmeyeceğinden $EBOB(a,b,c)=1$ kabul edebiliriz. $$\frac{a}{b}=3+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\implies a^2c=3abc+ab^2+bc^2$$ elde edilir. $EBOB(a,b)=u$, $EBOB(a,c)=v$ ve $EBOB(b,c)=w$ dersek, $a=uva_1$, $b=uwb_1$ ve $c=vwc_1$ olacak şekilde ikişerli aralarında asal $a_1,b_1,c_1$ vardır. Ayrıca $u,v,w$ de ikişerli aralarında asaldır. Yerine yazarsak, $$u^2v^3wa_1^2c_1=3u^2v^2w^2a_1b_1c_1+u^3vw^2a_1b_1^2+uv^2w^3b_1c_1^2$$ $$\implies uv^2a_1^2c_1=3uvwa_1b_1c_1+u^2wa_1b_1^2+vw^2b_1c_1^2$$ Buradan $u\mid b_1c_1^2$ elde edilir. Ancak $EBOB(u,c_1)=1$ olmalıdır, aksi takdirde $EBOB(a,b,c)>1$ olur. Dolayısıyla $u\mid b_1$'dir. Benzer şekilde, $v\mid a_1$, $w\mid c_1$ elde edilir. Diğer değişkenlerle de inceleme yaparsak, $a_1\mid vw^2$ elde edilir. Yine $EBOB(a_1,w)=1$ olduğundan $a_1\mid v$'dir. Daha önce bulduğumuz $v\mid a_1$'den $a_1=v$ olduğunu elde ederiz. Benzer şekilde $b_1=u$ ve $c_1=w$'dir. Buradan $(a,b,c)=(uv^2,u^2w, vw^2)$ bulunur. $abc=(uvw)^3$'dür. Dolayısıyla $abc$ ve $xyz$ çarpımı bir tamküptür.
Not: İkinci durumu sağlayan $(x,y,z)$ sayıları vardır. $(x,y,z)=(4,1,-2)$ örnek verilebilir.