Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2003 - Lise 1 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 02, 2023, 11:50:06 öö
-
Ahmet herhangi iki $a,b \in \mathbb Z$ sayılarını alarak $f(x)=x^2+ax+b$ fonksiyonunu oluşturuyor. Betül de $c,d \in \mathbb Z$ sayılarını alarak $g(x)=2x^2+cx+d$ fonksiyonunu oluşturuyor. Ahmet'in seçimi ne olursa olsun, Betül $c$ ve $d$ tam sayılarını öyle seçebilir ki, $f(\mathbb Z)$ ve $g(\mathbb Z)$ kümelerinin kesişimi boş küme olur. Kanıtlayınız.
(Burada, $f(\mathbb Z)$ ile tam sayılar kümesinin $f$ altındaki görüntü kümesi gösterilmektedir.)
-
Eğer Ahmet $a$ sayısını tek seçerse, $$f(x)\equiv x^2+ax+b\equiv x^2+x+b\equiv b\pmod{2}$$ olacağından Betül $c=2$ ve $d=b+1$ seçerek $$g(x)\equiv 2x^2+cx+d\equiv b+1\pmod{2}$$ yapabilir. Böylece $f(\mathbb{Z})$ ve $g(\mathbb{Z})$'den birisi sadece tek sayıları içerirken, diğeri sadece çift sayıları içerir. Böylece $f(\mathbb{Z})\cap g(\mathbb{Z})=\emptyset$ garantilenmiş olur.
Eğer Ahmet $a$'yı çift seçerse ($=2a_0$), bu durumda $$f(x)=x^2+2a_0x+a_0^2+(b-a_0^2)=(x+a_0)^2+b-a_0^2$$ olur. $f_1(x)=x^2+b-a_0^2$ için $f$ ve $f_1$ birbirinin ötelenmiş hali olduğundan $f(\mathbb{Z})=f_1(\mathbb{Z})$ olur. Bu yüzden genelliği bozmadan Ahmet'in $a=0$ seçtiğini düşünebiliriz. Bu durumda $$f(x)\equiv x^2+b\equiv b, b+1\pmod{4}$$ bulunur. Eğer Betül $c=2$ ve $d=b+2$ seçerse, $$g(x)\equiv 2(x^2+x)+b+2\equiv b+2\pmod{4}$$ elde ederiz. Bu durumda $f(\mathbb{Z})$ ile $g(\mathbb{Z})$ ayrık olacaktır. Dolayısıyla her durumda Betül, istenilen koşula uygun $c,d$ seçebilir.