Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2003 - Lise 1 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mayıs 02, 2023, 11:44:53 öö
-
Dışbükey (konveks) $ABCD$ dörtgeninin $[BC]$ kenarı üzerinde $E$ ve $F$ noktaları alınmıştır. ($E$, $B$ ile $F$ arasındadır). $m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{CDF})$ ve $m(\widehat{EAF}) = m(\widehat{FDE})$ olduğuna göre $m(\widehat{FAC}) = m(\widehat{EDB})$ olduğunu gösteriniz.
-
$m(\widehat{BAE}) = m(\widehat{CDF})=\alpha$, $m(\widehat{EAF}) = m(\widehat{FDE})=\beta$, $m(\widehat{FAC})=\theta$ ve $m(\widehat{EDB})=\gamma$ olsun.
Lemma: Bir doğru üzerinde farklı $A,B,C,D$ noktaları bu sırayla alınsın. Bu doğru dışındaki bir $X$ noktası için $m(\widehat{AXB})=a$, $m(\widehat{BXC})=b$ ve $m(\widehat{CXD})=c$ ise, $$\frac{\sin{b}\sin{(a+b+c)}}{\sin{a}\sin{c}}=\frac{|BC||AD|}{|AB||CD|}$$ olacaktır. (Bu oran $1$'e eşitse harmonik demet olarak adlandırılıyor.)
İspat: 4 tane sinüs teoremi uygulayınca çıktığından detaylı ispat vermeyeceğim.
Sonuç olarak $$\frac{\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta+\theta)}}{\sin{\alpha}\sin{\theta}}=\frac{\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta+\gamma)}}{\sin{\alpha}\sin{\gamma}}=\frac{|EF||BC|}{|BE||FC|}$$ olur. Buradan da $\alpha+\beta=x$ dersek, $$\frac{\sin{(x+\theta)}}{\sin{\theta}}=\frac{\sin{(x+\gamma)}}{\sin{\gamma}}\implies \frac{\sin{x}\cos{\theta}+\cos{x}\sin{\theta}}{\sin{\theta}}=\frac{\sin{x}\cos{\gamma}+\cos{x}\sin{\gamma}}{\sin{\gamma}}$$ $$\implies \tan{\theta}=\tan{\gamma}\implies \theta=\gamma$$ elde edilir. Aradaki işlemlerde sadeleştirmeleri açıların $180^{\circ}$'in tamkatı olmadığını kullanarak yaptık.
-
Problem All Russian Matematik Olimpiyatı 1996 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9334.msg25596;topicseen#new) 'den alınmıştır.