Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2002 - Lise 2 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mart 28, 2023, 01:03:26 öö
-
Bir $ABC$ üçgeninde $|BC|>2|AB|$ eşitsizliği sağlansın. Sadece pergel ve cetvel kullanarak, $[AC]$ kenarı üzerinde,
$$|AB|+|BD|+|DA|=|BC|$$
eşitliğini sağlayan $D$ noktasının yerini bulunuz.
NOT: Cetvel uzunluk ölçmeye değil, yalnızca herhangi iki noktadan geçen doğruyu çizmeye yarar.
-
Bilgi: $PQR$ üçgeninin $P$ ye karşı çizilen dış teğet çemberi $PQ$ ya $T$ de değsin. $PT$ uzunluğu üçgenin yarıçevresi kadardır.
Doğru parçasının orta dikmesini çizme yöntemini kullanarak bir çözüm verelim.
$X$ ve $Y$ verilen iki nokta olsun.$X$ merkezli $XY$ yarıçaplı çember ile $Y$ merkezli $YX$ yarıçaplı çember $M$ ve $N$ noktalarında kesişsin. $MN$ $AB$ ye ait orta dikme doğrusudur.
- Pergelin ucunu $BC=a$ kadar aç.
- $A$ merkezli $a$ yarıçaplı çember $[AB$ ışınını $E$ de, $[AC$ ışınını $F$ kessin.
- $AE$ nin ve $AF$ nin orta dikmeleri $G$ de keşissin.
- $AE$ nin orta dikmesi $[AB$ yi $H$ de kessin.
- $B$ merkezli $BH$ yarıçaplı çemberle, $G$ merkezli $GH$ yarıçaplı çember $T$ noktasında keşissin.
- $[BT$ ışını $AC$ yi $D$ noktasında kessin.
- $AB+BD+DA = 2AE = 2AF = BC$ dir.
Bu sayfada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=2696.msg12523#msg12523) pergel ve cetvelle yapılabilen bazı çizimler yer alıyor. Bunları kullanarak da farklı çözümler yapılabilir.
-
- $A$ merkezli $BC$ yarıçaplı çember $AC$ yi $E$ de kessin.
- $E$ merkezli $AB$ yarıçaplı çember $AC$ yi $F$ de kessin. $AF = BC - AB$ dir.
- $BF$ nin orta dikmesi $AC$ yi $D$ de kessin. $AD+BD=AD+DF=AF=BC-AB$ olur.