Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2002 - Lise 1 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mart 28, 2023, 12:49:06 öö

Başlık: 2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5
Gönderen: matematikolimpiyati - Mart 28, 2023, 12:49:06 öö

Bir $ABC$ üçgeninde $[AB]$ kenarı üzerinde alınmış bir $D$ noktası için
$$\dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|BC|}$$
eşitliği sağlanıyorsa, $\widehat{ACB}$ açısının geniş açı olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: 2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 5
Gönderen: Ege Sarıbaş - Haziran 12, 2023, 12:55:37 ös

Soruda verilen oran, tıpkı ekte belirttiğim resimdeki oklardaki gibi bir orandır. Ve bu oran bildiğimiz üzere ancak ve ancak dış açıortay olma durumunda geçerlidir. Yani buradan CA nın BCD üçgenine ait bir dış açıortay olduğunu anlarız. Buradan m(ECA) = m(ACD) = a diyebiliriz.
 O zaman m(BCD) = 180 - 2a olur. m(BCA) = m(BCD) + m(DCA) yani
m(BCA) = 180 - a olur. Bir de 2a < 180 olduğundan a < 90 olur. O zaman:
180 - a > 90
m(BCA) > 90 olur.