Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama => 2000 - Lise 2-3 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Mart 27, 2023, 02:08:23 öö
-
Bir $n$ doğal sayısının kendisinden küçük tüm doğal sayılara bölünmesiyle ortaya çıkan farklı kalanların toplamı $K(n)$ ile gösterilsin.
$K(n)=n$ olan tüm $n$ doğal sayılarını bulunuz. (Örnek: $K(9)=1+2+3+4=10$)
-
Birkaç deneme yapalım, tanımın mantığı gereği $K(1)=0$ olmalıdır. $$K(2)=0$$ $$K(3)=0+1$$ $$K(4)=0+1$$ $$K(5)=0+1+2$$ $$K(6)=0+1+2$$ $$K(7)=0+1+2+3$$ $$K(8 )=0+1+2+3$$ olur. Yani $$K(2n)=0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$ $$K(2n-1)=0+1+2+\cdots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$$ olduğunu tahmin edebiliriz.
İddiamızı ispatlayalım. Eğer $n$ çiftse $(=2k)$, $n$'den küçük herhangi bir $m$ pozitif tamsayısı için $n$'nin $m$'ye bölümünden kalan $k$ veya daha büyük olamaz çünkü aksi taktirde $k<m$ ve $m\mid n-\text{"kalan"}$'dan $m<n-\text{"kalan"}\leq k$ çelişkisi elde edilir. Aynı zamanda $k$'dan küçük her $k_0$ pozitif tamsayısı elde edilebilir çünkü $m=n-k_0$ seçebiliriz. Bu durumda $m>\frac{n}{2}$ olduğundan $n<2m$ olacak ve kalan $k_0$ olacaktır.
Aynı şekilde tek sayılar için de iddiayı gösterebiliriz. Şimdi soruya geçelim.
Eğer $n$ tek tamsayısı için $K(n)=n$ ise $k\geq 1$ için $n=2k-1$ yazalım. $$K(2k-1)=\frac{k(k-1)}{2}=2k-1$$ ikinci dereceden denklemi elde edilir ama çözüm bulunmaz.
Eğer $n$ çift tamsayı ve $K(n)=n$ ise $k\geq 1$ için $n=2k$ yazarsak, $$K(2k)=\frac{k(k-1)}{2}=2k\implies k^2-5k=0\implies k=5\implies n=10$$ elde edilir. Şartı sağlayan tek pozitif tamsayı $n=10$'dur.