Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Balkan Matematik Olimpiyatı => 1988 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 26, 2023, 01:36:38 öö
-
Bir $(a_n)_{n \geq 1} = 2^n+49$ dizisinde
$p<q,\ \ r<s,\ \ q-p=s-r$ ve $p,q,r,s$ asal sayılar olduğuna göre$,$
$a_n=pq$ ve $a_{n+1}=rs$ şartlarını sağlayan tüm $n$ değerlerini bulunuz.
(Romanya)
-
$pq=2^{n}+49$
$rs=2^{n+1}+49$
Öncelikle n'in tek olduğunu varsayalım. Bu durumda mod 3'ten $p=3$ olur.
$s+3=q+r$
$3q=2^{n}+49$
$rs=2^{n+1}+49$
$n\equiv1\pmod{4}$ ise $2^{n}\equiv2\pmod{5}$ olacağından $q\equiv2\pmod{5}$ ve $r\equiv s+1\pmod{5}$ olur. Ayrıca $rs\equiv3\pmod{5}$ de olmalı ancak yukarıdaki denklikten bu mümkün değildir. O zaman $n\equiv3\pmod{4}$ olmalıdır. Bu durumda mod 5'ten $r=5$ gelir.
$3q=2^{n}+49$
$5s=2^{n+1}+49$
$s=q+2$
Yukarıdaki ilk eşitliği 2 ile çarpıp alttakinden çıkardıktan sonra $s$ yerine $q+2$ yazılınca $(p,q,r,s,n)$ beşlisi $(3,59,5,61,7)$ olarak bulunur.
Şimdi n'in çift olduğunu varsayalım. Mod 3'ten $r=3$ olmalıdır.
$pq=2^{n}+49$
$3s=2^{n+1}+49$
$q+3=p+s$
$n\equiv2\pmod{4}$ ise $2^{n+1}\equiv3\pmod{5}$ olacağından ötürü $s\equiv4\pmod{5}$ ve $pq\equiv3\pmod{5}$ olmalıdır. Ayrıca $q\equiv s+1\pmod{5}$ de olması gerektiğinden bu mümkün değildir. O zaman $n\equiv0\pmod{4}$ olmalıdır. Bu durumda ise $2^{n}\equiv1\pmod{5}$ olduğundan $p=5$ olmalıdır.
$5q=2^{n}+49$
$3s=2^{n+1}+49$
$q=s+2$
Bu eşitlik sistemi için de aynı adımlar uygulandığında çözüm gelmediği görülür. Yani tek $(p,q,r,s,n)$ beşlisi $(3,59,5,61,7)$'dir.