Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 24, 2023, 02:03:58 öö
-
$ABC$ üçgeninde $B$'den çizilen yüksekliğin ayağı $D$ ve $|AB|=2$ olsun. $ABC$ üçgeninin ağırlık merkezi ile $DBC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi aynı nokta olduğuna göre$,\ |AC|$ kaç birimdir?
$\textbf{a)}\ \sqrt{14} \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{13} \qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ \sqrt{11} \qquad\textbf{e)}\ \sqrt{10}$
-
Yanıt: $\boxed E$
$AB$ nin orta noktası $M$, $AC$ nin orta noktası $N$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ olsun.
Sorudaki tanım gereği, $CM$ doğrusu $\angle DCB$ nin açıortayıdır. Bu da $AC=BC$ olduğu anlamına gelir.
$BC = 2\cdot AN=2 \cdot NC$ olacaktır.
$\triangle DBC$ de $BN$ açıortay olduğu için $BD/DB=BC/CN=2$ olacaktır.
Dikkatli geometriciler $\triangle DBC$ nin bir $3-4-5$ üçgeni olduğunu hemen görecektir. ($BC=10$ ve $DN=x$ dersek, dik üçgenin kenarları $2x, 5+x, 10$ olacaktır.)
Göremeyenler için $DN = x, NC=y$ dersek $(x+y)^2+(2x)^2=(2y)^2$ denklemini elde ederiz. Buradan $5x^2+2xy-3y^2=(5x-3y)(x+y)=0$ ve $\dfrac xy = \dfrac 35$ olur.
$BD=2\cdot DN = 6k$ dersek $AN=NC=5k$, $AC=10k$, $AD=2k$ olur.
$\triangle ABD$ de Pisagor'dan $40k^2=4$, $k=\dfrac 1{\sqrt{10}}$ ve $AC=10k=\sqrt {10}$ olacaktır.
-
$AB$ nin orta noktası $M$, $\triangle ABC$ nin ağırlık merkezi $G$ olsun.
Sorudaki tanım gereği, $CM$ doğrusu $\angle DCB$ nin açıortayıdır. Bu da $AC=BC$ olduğu anlamına gelir.
$\angle ACM = \angle ABD = \angle MDB = \alpha$.
$\angle DBG =\angle GBC = \dfrac{\angle DBC}{2}=45^\circ - \alpha$ olduğu için $\angle MBG=45^\circ$ ve $MG=MB=1$ ve $CG=2$ olur. $\triangle AMC$ de Pisagor'dan $AC = \sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ olur.