Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 24, 2023, 01:01:38 öö
-
Bir $ABC$ eşkenar üçgeninde$,\ BC$ kenarı üzerinde $|BD|<|BE|$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktaları seçiliyor. $|BD|=16,\ |EC|=5$ ve $m(\widehat{DAE})=30^{\circ}$ ise $|AC|$ uzunluğu kaçtır?
$\textbf{a)}\ 39 \qquad\textbf{b)}\ 40 \qquad\textbf{c)}\ 36 \qquad\textbf{d)}\ 38 \qquad\textbf{e)}\ 33$
-
Yanıt: $\boxed B$
$BC$ nin orta noktası $M$, $D$ den $AB$ ye inilen dikmenin ayağı $H$ olsun.
$AC=x$ dersek $BH=8$, $AH=x-8$, $DH=8\sqrt 3$, $MD=\dfrac x2 -16$, $ME=\dfrac x2 -5$, $AM=\dfrac {x\sqrt 3}2$ olur.
$\angle BAD = \angle MAE$ olduğu için $\triangle HAD \sim \triangle MAE$. Buradan $HD/HA = ME/MA$ oranını yazarsak $$\dfrac{8\sqrt 3}{x-8}=\dfrac {\dfrac x2 - 5}{\dfrac {x\sqrt 3}2}$$ eşitliğinden $x^2-42x+80=(x-2)(x-40)=0$ denklemi elde edilir. Köklerden sadece $x=40$ sağlar.
-
Sırasıyla $B$ ve $C$ noktalarının $AD$ ve $AE$ doğrularına göre simetrikleri çakışıktır (Çünkü $\angle BAD+\angle CAE=30^{\circ}$ dir.) Bu noktaya $P$ diyelim. $PD=16$, $PE=5$ ve $\angle DPE=120^{\circ}$ olduğundan Kosinüs Teoremiyle $DE=19$ bulunur. Dolayısıyla eşkenar üçgenin bir kenarı $40$ tır.
Kaynak: Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözüm Kitabı