Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 24, 2023, 12:47:42 öö
-
Burcu$,$ Emel$,$ Tolga ve Alp$,$ aşağıda verilen$,$ kendilerinin tanımladığı özelliklere sahip üçgenlere "BETA ÜÇGENİ" adını veriyorlar.
Burcu : Üçgenin alanı tam sayı olsun.
Emel : Üçgenin en küçük iki kenarı ardışık tam sayı olsun.
Tolga : Üçgenin en büyük kenarı$,$ çevre uzunluğunun yarısından $1\ br$ küçük olsun.
Alp : Üçgenin çevresinin uzunluğu $500$'den küçük olsun.
Tolga bu koşullara uygun en küçük üçgenin $(3,4,5)$ üçgeni olduğunu hemen söylüyor. Buna göre$,$ bir BETA ÜÇGENİNİN çevre uzunluğunun$,\ 100$'den büyük olma olasılığı nedir?
$\textbf{a)}\ \dfrac58 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac37 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac38 \qquad\textbf{d)}\ \dfrac12 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac47$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Üçgenin en küçük iki kenarı $a$ ve $a+1$ olsun. En uzun kenarına $b$ dersek, $\frac{2a+1+b}{2}=b+1$ olacağından $b=2a-1$ olur. $(a,a+1,2a-1)$ üçgeninin üçgen eşitsizliğini sağladığını görmek kolaydır. $2a-1>a+1$ olması gerektiğinden $a\geq 3$'dür. $a+(a+1)+(2a-1)=4a<500$ olduğundan $a\leq 124$ olacaktır. Üçgenin alanının tamsayı olması için Heron formülünden $$\sqrt{2a(2a-a)(2a-(a+1))(2a-(2a-1))}=\sqrt{2a^2(a-1)}=a\sqrt{2(a-1)}$$ tamsayı olmalıdır. Buradan da $2(a-1)$ tamkare olması gerektiğinden $a=2t^2+1$ formatında bulunur. Yani üçgenimizin kenarları $124\geq 2t^2+1\geq 3$ veya düzenlersek $7\geq t\geq 1$ olmak üzere $(2t^2+1,2t^2+2,4t^2+1)$ şeklindedir. Çevre uzunluğu $8t^2+4$'dür. $$8t^2+4\geq 100\implies t^2\geq 12\implies t\geq 4$$ olmasını istiyoruz. Tüm durumda $7$ tane $t$ değeri vardır ve $4$ tanesinde istenileni sağlar. Dolayısıyla aranan olasılık $\frac{4}{7}$'dir.