Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 23, 2023, 11:52:30 ös
-
$a_{n+2}=\dfrac{2a_{n+1}}{3a_n},\ a_0=2$ ve $a_1=1$ olduğuna göre$,\ \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_{3n}}{3^n}$ toplamının değeri kaçtır?
$\textbf{a)}\ \dfrac73 \qquad\textbf{b)}\ \dfrac83 \qquad\textbf{c)}\ \dfrac92 \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \dfrac72$
-
Cevap: $\boxed{A}$
İlk birkaç terimi yazalım. $$a_0=2, a_1=1, a_2=\frac{1}{3}, a_3=\frac{2}{9}, a_4=\frac{4}{9}, a_5=\frac{4}{3}, a_6=2, a_7=1, \dots$$ Yani dizi $6$ terimde bir tekrara giriyor. Buradan $a_{6k}=2$ ve $a_{6k+3}=\frac{2}{9}$ bulunur. Eğer verilen toplamı tekler ve çiftler olarak ayırırsak (bunu yapabilmemiz için dizinin yakınsadığını göstermek gerekiyor ama çoktan seçmeli bir sınav olduğundan dolayı yakınsadığını biliyoruz), $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{3n}}{3^n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{6k}}{3^{2k}}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{6k+3}}{3^{2k+1}}$$ $$=2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{9^{k}}+\frac{2}{27}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{9^{k}}=\frac{56}{27}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{9}}=\frac{56}{27}\cdot \frac{9}{8}=\frac{7}{3}$$ elde edilir.