Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2016 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 23, 2023, 11:45:58 ös
-
$2x= \left( \dfrac{x^3+1}{2} \right)^3+1$ denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 9$
-
Cevap: $\boxed{C}$
Eşitliği düzenlersek, $\sqrt[3]{2x-1}=\frac{x^3+1}{2}$ olacaktır. Eğer $f(x)=\frac{x^3+1}{2}$ dersek, $f$ fonksiyonu $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye birebir örtendir. Dolayısıyla $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{2x-1}$ yazabiliriz. $f^{-1}$ fonksiyonu $f$'nin $x=y$ doğrusuna göre yansıtılmış halidir. Dolayısıyla $f(x)=f^{-1}(x)$ olan her $x$ için $f(x)=f^{-1}(x)=x$'dir. Sonuç olarak sadece $f(x)=x$ eşitliğini çözmemiz yeterlidir. $$\frac{x^3+1}{2}=x\implies x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$$ olur. Yani çözümler $x=1$, $x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$'dir ve $3$ tane çözüm vardır.
-
Yanıt: $\boxed{C}$.
$x=\dfrac{\left(\dfrac{x^3+1}{2}\right)^3+1}{2}$ eşitliğinde $t=\dfrac{x^3+1}{2}$ için $x=\dfrac{t^3+1}{2}$ olur. Bu iki eşitliği birbirinden çıkartırsak $x-t=\dfrac{(t-x)(t^2+tx+x^2)}{2}$ bulunur. Ya $x=t$ dir ya da $t^2+tx+x^2=-2$ eşitliği sağlanmalıdır. Eğer $x=t$ ise $x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$ denkleminden $3$ farklı reel kök gelir. $t^2+tx+x^2=-2$ eşitliğinden ise $\triangle_t=x^2-4(x^2+2)=-(3x^2+8)<0$ olduğundan çözüm gelmez. Toplamda $3$ farklı reel çözüm elde edilir.
-
Benzer bir soru için bkz: 2000 Antalya Olimpiyatı Lise 2-3 Soru 13 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=7369.0).