Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Geometri-Teorem ve İspatlar => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 13, 2023, 06:29:53 ös

Başlık: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
Gönderen: matematikolimpiyati - Şubat 13, 2023, 06:29:53 ös

Teorem [The College Mathematics Journal, 2004]: Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin Euler Doğrusu'nun $BC$ kenarına paralel olması için gerek ve yeter koşul
$$\tan B \cdot \tan C =3$$
olmasıdır.

Başlık: Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
Gönderen: alpercay - Şubat 13, 2023, 09:04:46 ös

Bu soru formda olmalı diye hatırlıyorum fakat göremedim.

Başlık: Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
Gönderen: matematikolimpiyati - Şubat 13, 2023, 09:11:13 ös

Ben de biraz aradım ama bulamadım

Başlık: Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
Gönderen: Lokman Gökçe - Şubat 13, 2023, 10:00:34 ös

Bu soruyu forumda çözmüştüm diye hatırlıyorum. Ben de bulamadım :) Trigonometri kullanmadığım aşağıdaki çözümüm biraz daha kısa ve zarif olabilir.


Çözüm: $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$, ağırlık merkezi (centroid) $G$ olsun. $|AF|=3|GF|$ özelliği vardır. Ayrıca diklik merkezi özelliği olarak $|AD|\cdot |HD| = |BD|\cdot |CD|$ eşitliği geçerlidir. İspatı için Diklik merkezi-Problem 8 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=69.0) bağlantısına bakılabilir. Buna göre, $\tan B \cdot \tan C = \dfrac{|AD|}{|BD|}\cdot \dfrac{|AD|}{|CD|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} $ olur. Ayrıca $GH$, $ABC$ üçgeninin Euler doğrusudur.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8310.0;attach=16424;image)

Dolayısıyla

$$ GH \parallel BC \iff \dfrac{|AF|}{|GF|} = \dfrac{|AD|}{|HD|} \iff |AD| = 3|HD| \iff \tan B \cdot \tan C = 3 $$

elde edilir.

Başlık: Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
Gönderen: matematikolimpiyati - Şubat 14, 2023, 02:45:42 öö

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8310.0;attach=16426)

$\tan B \cdot \tan C$ ifadesini şöyle de bulabiliriz :

$H$ noktası diklik merkezi olduğu için $m(\widehat{B})=m(\widehat{DHC}) \implies \tan B \cdot \tan C = \dfrac{|CD|}{|HD|} \cdot \dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|AD|}{|HD|}$

Benzer Soru (https://geomania.org/forum/index.php?topic=4055.0)

Başlık: Ynt: Euler Doğrusu Ne Zaman Bir Kenara Paralel Olur?
Gönderen: alpercay - Şubat 15, 2023, 03:51:18 ös

Metin Can Aydemir'in  bu sorunun (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8179) çözümünde kullandığı koordinat sistemini gözönüne alalım. Euler doğrusunun $BC$ kenarına paralel olması için gerek ve yeter şart  diklik merkezi $H$ noktasının  ve  çevrel çemberin merkezi  $O$ noktasının $BC$ kenarına olan uzaklıklarının eşit olmasıdır; yani $H\left(0,\frac{bc}{a}\right)$ ve $O\left(\frac{c-b}{2},\frac{a^2-bc}{2a}\right)$ noktalarının ordinatları eşit olmalıdır. Buna göre $$\dfrac{bc}{a}=\dfrac{a^2-bc}{2a}$$ eşitliğinden $$a^2=3bc$$ bulunur.
Bahsi geçen koordinat sisteminde $\tan B=\dfrac{a}{b}$  ve $\tan C=\dfrac{a}{c}$ olarak ifade edilebileceğinden  $$\tan B\cdot \tan C=\dfrac{a^2}{bc}=3$$ elde edilir.

Bunu kullanarak Euler doğrusu bir kenarına paralel olan üçgenleri de inşaa edebiliriz: Bunun için $BC$ kenarı üzerinde $|BD|=b$, $|CD|=c$ , $b\ne c$  olacak şekilde bir $D$ noktası alırız ve yükseklik ayağı $D$ olan $\sqrt{3bc}$ uzunluğundaki yüksekliği çizerek $A$ noktasını tespit ederiz. $b=c$ durumunda üçgen eşkenar üçgene dönüşür ve Euler doğrusu oluşmaz.