Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2015 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 05, 2023, 08:09:23 ös
-
GANANGANA kabilesinin dilinin alfabesinde sadece $N,G$ ve $A$ harfleri vardır. Her kelimede çift sayıda (sıfır dahil) $A$ harfi bulunmakta ve tüm kelimeler $9$ harften oluşmaktadır. Buna göre$,$ bu kabilenin sözlüğünde en fazla kaç kelime olabilir?
$\textbf{a)}\ 8645 \qquad\textbf{b)}\ 9338 \qquad\textbf{c)}\ 9982 \qquad\textbf{d)}\ 8246 \qquad\textbf{e)}\ 9842$
-
Cevap E'dir.
Öncelikle 9 harflik kelimede kaç tane A harfi olduğuna bağlı olarak durumları ayri ayrı hesaplayıp toplayalım.
_ _ _ _ _ _ _ _ _
0 tane A olsun
=> Her boşluk ya N ya da G olabilir ve her biri için 2 seçenek vardır. Bu da 2⁹ eder.
2 tane A olsun
=> 9 boşluktan 2 tanesini seçip 2 adet olan A yı yerleştiririz ve AA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 7 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
= [9!/(7!.2!)].2⁷
4 tane A olsun
=> 9 boşluktan 4 tanesini seçip 4 adet olan A yı yerleştiririz ve AAAA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 5 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
= [9!/(5!.4!)].2⁵
6 tane A olsun
=> 9 boşluktan 6 tanesini seçip 6 adet olan A yı yerleştiririz ve AAAAAA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 3 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
= [9!/(6!.3!)].2³
8 tane A olsun
=> 9 boşluktan 8 tanesini seçip 8 adet olan A yı yerleştiririz ve AAAAAAAA ların kendi arasındaki permütasyonu 1 dir. Geri kalan 1 boşluk için ya N ya da G olmak üzere 2 seçenek vardır .
= [9!/(8!.1!)].2¹
Bunların toplamı :
2⁹+ [9!/(7!.2!)].2⁷+[9!/(5!.4!)].2⁵+ [9!/(6!.3!)].2³+[9!/(8!.1!)].2¹ = 9842 dir.
Cevabımız 9842'dir.
-
Yanıt: $\boxed{E}$.
Benzer sorular için bkz: 2022 Antalya (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9110.msg25771#msg25771) ve 2024 Antalya (https://geomania.org/forum/index.php?topic=9226.msg25772#msg25772). Bu sorularda indirgemeli dizi yöntemleriyle çözüm sayısının $n$ hane için $\dfrac{3^n+1}{2}$ olduğu gösterilmişti (örneğin 2024 sorusunda $A,N,G$ sırasıyla $a,b,c$ alınırsa sorunun benzeri elde edilir.) Dolayısıyla bu kabilenin sözlüğünde $\dfrac{1}{2}(3^9+1)=9842$ kelime bulunur.