Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2015 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 05, 2023, 06:22:37 ös
-
$a_1=2$ ve her $n \geq 1$ için$,\ 5a_{n+1}=a_n+4$ sağlansın. $A_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n$ olmak üzere$,$
$\left|A_n-n-\dfrac54\right|<\dfrac{1}{2500}$
eşitsizliğini sağlayan en küçük $n$ sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 7 \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 4$
-
Cevap: $\boxed{A}$
İndirgemeli dizi formülündeki $4$'ü yok etmek için $a_n=b_n+k$ şeklinde bir $k$ arayalım. $$5(b_{n+1}+k)=5b_{n+1}+5k=b_n+k+4$$ olacağından $k=1$ seçmemiz mantıklıdır. Dolayısıyla $b_n=a_n-1$ yazarsak, $5b_{n+1}=b_n$ elde edilir. Yani $b_n$ bir geometrik dizidir ve ortak çarpanı $5^{-1}$'dir. Eğer $b_n=A5^{-n}$ yazarsak, $b_1=1$ olduğunu kullanırsak $b_n=5^{1-n}$ ve $a_n=5^{1-n}+1$ olur. $$A_n=\sum_{k=1}^{n} (5^{1-k}+1)=n+\sum_{k=1}^{n}5^{1-k}=n+\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{5}\right)^{k-1}=n+\frac{1-\frac{1}{5^n}}{1-\frac{1}{5}}$$ $$\implies A_n=n+\frac{5}{4}-\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}\implies \left\lvert A_n-n-\frac{5}{4}\right\rvert=\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}$$ Dolayısıyla $$\frac{1}{4\cdot 5^{n-1}}<\frac{1}{2500} \iff 625<5^{n-1}\iff 5<n$$ olacağından $\min n=6$ bulunur.
-
Yanıt: $\boxed{A}$
$5a_{n+1}=a_n+4$ indirgemeli dizi bağıntısında homojen olan taraftan $r_1=\dfrac{1}{5}$ ve tamamlayıcı çözüm fikriyle $r_2=1$ kökleri elde edilir. Buna göre $a_n=\dfrac{A}{5^n}+B$ şeklinde olmalıdır. $a_1$ ve $a_2$ yerine yazıldığında $A=5$ ve $B=1$ bulunur, yani $a_n=\dfrac{1}{5^{n-1}}+1$ olur.
$$\left|A_n-n-\dfrac54\right|=\left|n+\sum_{k=0}^{n-1}{\dfrac{1}{5^k}}-n-\dfrac54\right|=\left|\dfrac{1-\dfrac{1}{5^n}}{1-\dfrac{1}{5}}-\dfrac{5}{4}\right|=-\dfrac{1}{4.5^{n-1}}<2500$$
Dolayısıyla $n\leq 6$ bulunur.