Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2015 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 05, 2023, 01:44:13 ös
-
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8285.0;attach=16412)
$d_3$ doğrusu$,\ d_1$ ve $d_2$ doğruları arasında olmak üzere$,\ d_1,d_2$ ve $d_3$ birbirine paralel üç doğrudur. Bir $ABC$ eşkenar üçgeninin $A,B$ ve $C$ köşeleri sırasıyla $d_1,d_2$ ve $d_3$ doğruları üzerindedir. $d_1$ ve $d_3$ arasındaki uzaklık $12\ cm,\ d_2$ ve $d_3$ arasındaki uzaklık $3\ cm$ olduğuna göre $ABC$ üçgeninin alanı kaç $cm^2$'dir?
$\textbf{a)}\ 52\sqrt3 \qquad\textbf{b)}\ 54\sqrt3 \qquad\textbf{c)}\ 56\sqrt3 \qquad\textbf{d)}\ 60\sqrt3 \qquad\textbf{e)}\ 63\sqrt3$
-
Cevap: $\boxed{E}$
$A$'dan $d_2$'ye inilen dikmenin ayağı $X$; $C$'den $d_2$'ye inilen dikmenin ayağı $Y$; $d_1$'e inilen dikme ayağı $Z$ olsun. Bu durumda $|AX|=15$, $|CY|=3$ ve $|CZ|=12$ bulunur. $AXYZ$ bir dikdörtgen olduğundan eğer $|AZ|=a$ ve $|BX|=b$ dersek $|BY|=a+b$ olur. Üçgenin bir kenar uzunluğuna $x$ dersek, $BCY$, $ABX$ ve $ACZ$ üçgenlerinde pisagor uygulayalım. $$x^2=(a+b)^2+9=a^2+225=b^2+144$$ elde edilir. $a^2=x^2-225$ ve $b^2=x^2-144$ dersek, $$x^2=a^2+2ab+b^2+9=2ab+2x^2-360\implies 2ab=360-x^2$$ elde edilir. $$4a^2b^2=4(x^2-225)(x^2-144)=(360-x^2)^2\implies 3x^4-756x^2=3x^2(x^2-252)=0\implies x^2=252$$ elde edilir. Kenarı $x$ birim olan bir eşkenar üçgenin alanı $\frac{x^2\sqrt{3}}{4}$ olduğundan $ABC$ üçgeninin alanı $\frac{252\sqrt{3}}{4}=63\sqrt{3}$ elde edilir.
-
Yanıt: $\boxed{E}$
$AB\cap d_3=D$ diyelim. $AD:DB=4:1$ olduğundan $AD=4k$, $BD=k$ diyelim. Stewart'tan $CD=k\sqrt{21}$ olur. $[ABC]=\dfrac{25k^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{15}{2}CD=\dfrac{15k\sqrt{21}}{2}$ olduğundan $k=\dfrac{6\sqrt{7}}{3}$ ve $[ABC]=63\sqrt{3}$ bulunur.