Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2014 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 04, 2023, 09:18:53 ös
-
$x$ bir reel sayı ve
$A(x)=(x+2)^5+(x+2)^3(x-2)^2+(x+2)(x-2)^4$
$B(x)=(2-x)^5+(2-x)^3(2+x)^2+(2-x)(2+x)^4$
olmak üzere$,\ A(x)=B(x)$ denkleminin çözüm sayısı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 5$
-
Cevap: $\boxed{B}$
Öncelikle $B(x)=A(-x)$ olduğunu görelim. Yani bizden $A(x)=A(-x)$ denkleminin çözüm sayısı isteniliyor. Eğer $A(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ yazarsak, $A(x)=A(-x)$ denkleminde çift kuvvetli terimlerin eleneceğini ve tek kuvvetli terimlerin kalacağını görebiliriz. $$A(x)=3 x^5 + 6 x^4 + 40 x^3 + 80 x^2 + 48 x + 96$$ olduğunu görebiliriz. Çift kuvvetli terimler elendiğinden bizim çözüm sayısını bulmamız gereken denklem $$3x^5+40x^3+48x=x(3x^4+40x^2+48)=0$$ olacaktır. $x=0$ kökünü kenara alalım. $4.$ dereceden olan kısımda $x^2$ ve $x^4$ terimleri pozitif veya sıfır olduğundan $x^4+40x^2+48>0$'dır. Yani buradan kök gelmez. Tek çözüm $x=0$'dır ve bir tane çözüm vardır.