Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2014 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 04, 2023, 04:08:22 ös

Başlık: 2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02
Gönderen: matematikolimpiyati - Şubat 04, 2023, 04:08:22 ös

$\dfrac{13^n+2}{3}$  ifadesinin tamkare olmasını sağlayan kaç $n$  pozitif tam sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Çoklukta}$

Başlık: Ynt: 2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02
Gönderen: Metin Can Aydemir - Temmuz 07, 2024, 05:11:47 ös

Cevap: $\boxed{D}$

$a>0$ için $13^n+2=3a^2$ olsun. $$3a^2\equiv 2\pmod{13}\implies a^2\equiv 5\pmod{13}$$ olacaktır. $1,2,3,4,5,6$ kalanlarını denersek, $13$ modundaki karekalanlar $1,3,4,9,10,12$'dır. $5$ karekalan olmadığından çözüm yoktur.