Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1996 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 03, 2023, 04:32:14 ös
-
Elemanlarından herhangi ikisi aralarında asal olan ve herhangi ikisinin farkı üçüncüsü ile bölünen, üç elemanlı tüm $\{a,b,c\} \subset \mathbb Z$ kümelerini dikkate aldığımızda, aşağıdakilerden hangisi doğru değildir?
$\textbf{a)}$ $a,b,c$ sayılarından en az biri negatif olmalıdır.
$\textbf{b)}$ Sıfırdan farklı hangi $c$ tam sayısı verilirse verilsin, $\{a,b,c\}$ istenen koşulu sağlayacak biçimde $a$ ve $b$ tam sayıları bulunur.
$\textbf{c)}$ $a,b,c$ sayılarından en az birinin mutlak değeri $1$ ya da $2$ dir.
$\textbf{d)}$ $a,b,c$ ardışık tam sayılar olamaz.
$\textbf{e)}$ Hiçbiri
-
Metin Can Aydemir'in uyarısıyla bu çözümün yanlış olduğu görülmüştür.
Yanıt: $\boxed E$
$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılar $a\leq b \leq c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid b-a$ olacaktır.
$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı. Bu durumda $(A)$ doğrudur.
Bu bilgiyi kullanarak $a\leq b \leq c$ ifadesini $-a \leq c - b$ şeklinde yazabiliriz.
$b-a\leq c \leq b-a$ olduğu için $c=b-a$.
$b \mid c - a$ ifadesi $ b \mid b-2a$ ya dönüşür. Bu da $b \mid 2a$ olduğu anlamına gelir. $(a,b)=1$ olduğu için $b \mid 2$ olmalı. Bu durumda $b \in \{-2,-1,1,2\}$ olacağı için $(C)$ de doğrudur.
Bu bilgiyle $(a,b,c)$ üçlülerinin $(a, -2, -a-2)$, $(a, -1, -a-1)$, $(a, 1, -a+1)$,$(a, 2, -a+2)$ şeklinde olduğunu söyleyebiliriz.
Bu üçlülerden hiçbiri ardışık üç tamsayıdan oluşamaz. $(D)$ de doğrudur.
Geriye sadece $(B)$ şıkkı kalıyor.
Sayılardan biri $-1$ ise $a<-1$ olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a-1)$ şeklinde seçilebilir.
Sayılardan biri $-2$ ise $a<-2$ tek sayı olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a-2)$ şeklinde seçilebilir.
Diğer negatif sayılar için, verilen sayıya $a$ dersek, diğer iki sayı $(1, -a+2)$ şeklinde seçilebilir.
Sayılardan biri $1$ ise $a<0$ olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a+1)$ şeklinde seçilebilir.
Sayılardan biri $2$ ise $a<0$ tek sayı olmak üzere diğer iki sayı $(a, -a+2)$ şeklinde seçilebilir.
Diğer pozitif sayılar için $a<0$ olmak üzere diğer iki sayı $(1, -a+1)$ şeklinde seçilebilir.
Bu durumda $(B)$ de doğrudur.
-
$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılar $a\leq b \leq c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid b-a$ olacaktır.
$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı. Bu durumda $(A)$ doğrudur.
Burada kullanılan $m\mid n\implies |m|\leq |n|$ eşitsizliği $m,n\neq 0$ iken geçerlidir. Dolayısıyla $a=b=c$ durumunda bu eşitsizlik kullanılamaz. Bu duruma örnek olarak $(a,b,c)=(1,1,1)$ verilebilir.
-
Düzeltme için teşekkürler.
$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılar $a\leq b \leq c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid b-a$ olacaktır.
$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı. Bu durumda $(A)$ doğrudur.
Burada kullanılan $m\mid n\implies |m|\leq |n|$ eşitsizliği $m,n\neq 0$ iken geçerlidir. Dolayısıyla $a=b=c$ durumunda bu eşitsizlik kullanılamaz. Bu duruma örnek olarak $(a,b,c)=(1,1,1)$ verilebilir.
-
Yanıt: $\boxed A$
$0$ ile bölünebilme tanımsız olduğu için $a,b,c$ den hiçbiri $0$ olamaz.
Sayılardan en az ikisi birbirine eşit olsun: $a,a,c$ gibi
$c \mid 0$ ve $a \mid c - a$ olmalı. İlki sıfırdan farklı her sayı için doğru, ikinci ise $a \mid c$ iken doğru. $(a,c)=1$ olduğu için $a \in \{-1, 1\}$ olmalı.
Her $c \neq 0$ sayısı için $(1,1,c)$ üçlüsü sorudaki şartı sağlar. ($c \mid 0$ ve $1 \mid c - 1$)
Bu durumda $(A)$ önermesi doğru değil ve $(B)$ önermesi doğrudur. (Her $c$ sayısı için $a=b=1$ alınabilir.)
Cevabın $(A)$ olduğu bu aşamada belirlenmiş oldu. Sorunun sıhhati açısından yine de devam edelim.
Sayıların ardışık olduğunu varsayalım.
$(a, a+1, a+2)$ için $a \mid 1$ ve $a+2 \mid 1$ olmalı. $a \in \{-1, 1\}$ ve $a+2 \in \{-1, 1\} \Rightarrow a \in \{-3, -1\}$ in ortak çözümü $a=-1$ dir.
$(-1,0,1)$ sayıları sorudaki şartı sağlamayacağı için $a,b,c$ sayıları ardışık tam sayılar olamaz. $(D)$ doğrudur.
Sayılardan en az ikisi birbirine eşitken bu eşit sayıların $-1$ veya $1$ olduğunu görmüştük. Bu şart altında $(C)$ şıkkı doğru oluyor. Diğer şartlar için $(D)$ nin doğruluğunu araştıralım:
Sayılardan hiçbiri diğerine eşit olmasın:
Sayılar $a < b < c$ şeklinde sıralansın.
$a \mid c - b$, $b \mid c - a$ ve $c\mid b-a$ olacaktır.
$a \leq c - b$, $b \leq c - a$ ve $c\leq b-a$ olmalı.
$a+b \leq c \leq b-a \Rightarrow 2a\leq 0 \Rightarrow a< 0$ olmalı.
Bu bilgiyi kullanarak $a\leq b \leq c$ ifadesini $-a \leq c - b$ şeklinde yazabiliriz.
$b-a\leq c \leq b-a$ olduğu için $c=b-a$.
$b \mid c - a$ ifadesi $ b \mid b-2a$ ya dönüşür. Bu da $b \mid 2a$ olduğu anlamına gelir. $(a,b)=1$ olduğu için $b \mid 2$ olmalı. Bu durumda $b \in \{-2,-1,1,2\}$ olacağı için $(C)$ de doğrudur.
Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(E)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.
-
Problemde $\{a,b,c\}$ bir küme olarak verildiği için $a, b, c$ sayıları birbirinden farklı alınmalıdır. Sayılar arasında eşitlik varsayımı yapılamaz. Buna göre çözümü yeniden ele alabiliriz.