Yanıt: $\boxed A$ veya $\boxed E$
Lisedeyken bu soruyu çözmeye çalıştığımızda, ortaokul kampına katılmış bir arkadaşımız Euler Formülü kullanarak ($v-e+f=2$) bir çözüm yapıp şıklardaki sayılardan birini bulmuştu. (Muhtemelen kampta buna benzer bir soru ile karşılaşmıştı.)
Başka bir arkadaşımız da üst limitin olmadığını göstermişti. Onun örnek çizgesini hatırlayamıyordum. Yıllar sonra hatırlamaya çalışınca aşağıdaki gibi bir çözüm elde etmiştim. Bu şekil, Mustafa Töngemen'in kitabındaki ile aynıydı.
Bu çözümü yazmadan önce, düzlemsel çizgeler (planar graph) ile ilgili benzer bir problem bulabilir miyim diye araştırma yapmıştım. Tam olarak aynısını bulamamıştım.
Bu soru için, hep çizge kuramından bir soru sormak istemişler ama olmamış gibi hissederdim.
One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Hugo Steinhaus, 1964 (https://archive.org/details/steinhaus-one-hundred-problems-in-elementary-mathematics/page/15/mode/2up) kitabını karıştırırken 16 nolu sorunun bu sorunun aynısı olduğunu fark ettim. Bu kitapta verilen cevap, $19$ idi.
Büyük ihtimalle, resmi cevap anahtarında da bu sorunun cevabı $(a) 19$ idi. Tabii, bu bir iddia.
Aşağıdaki çözümde üçgenin kenarları üzerinde noktalar alınmış. Sorudaki metne göre bu illegal bir hareket mi, bir türlü karar veremedim.
$n$ için üst limit yoktur.
Bir üçgenin kenarorta noktalarını birleştiren üçgeni çizelim. Bu prosedürü sürekli uyguladığımızda ilk üçgenin köşeleri hariç diğer tüm köşelerde $4$ kenar kesişir. (bkz. ilk şekil)
Üçgeni ikinci şekildeki gibi $7$ üçgene ayırdığımızda her köşeden $4$ kenar çıkar. En içteki üçgen yukarıda anlatıldığı gibi kenarorta noktaları üzerinden sınırsız sayıda üçgene ayrılabilir.
Ortaya çıkan şekilde tüm köşelerden $4$ kenar çıkmış oldu.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8249.0;attach=16665;image)