Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1996 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 03, 2023, 04:21:52 ös
-
$f : \mathbb Z \times \mathbb Z \to \mathbb Z$ fonksiyonu$,$ her $x,y \in \mathbb Z$ için$,$
1) $f(x+1,y+1)+f(x,y) = f(x,y+1)+f(x+1,y)$
2) $f(x,0)=x^2$
3) $f(0,y)=-y^2$
koşullarını sağlıyor. $f(1000,996)$ aşağıdakilerden hangisidir?
$\textbf{a)}\ 7984 \qquad\textbf{b)}\ 1996 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Yanıt: $\boxed A$
Test tekniği ile $f(x,y)=x^2-y^2$ fonksiyonunu tahmin etmek zor değil.
$(1)$ de verilen fonksiyonel eşitlikte $x$ ler $f$ nin ilk parametresinde, $y$ ler $f$ nin ikinci parametresinde kalmış. $f(x,y)=g(x)+h(y)$ şeklinde bir fonksiyon $(1)$ i sağlar.
$(2)$ ve $(3)$ ten $g(x)=x^2$ ve $h(y)=-y^2$ nin sağladığı görülür.
$f(1000,996)=1000^2-996^2=(1000-996)(1000+996)=4(2000-4)=8000-16=7984$
-
Yanıt: $\boxed{A}$
$f(x+1,y+1) - f(x+1,y) = f(x,y+1) - f(x,y)$ teleskopik bağıntısını göz önüne alalım.
$y= 0, 1, 2, \dots , n-1$ tam sayı değerini verirsek $f(x+1, n) - f(x+1,0) = f(x, n) - f(x, 0)$ olup $$ f(x+1, n) - f(x, n) = (x+1)^2 - x^2 $$ elde edilir. Şimdi de bu teleskopik ifadede $x=0, 1, 2, \dots , m-1$ tam sayı değerlerini verirsek $f(m,n) - f(0,n) = m^2 - 0^2$ olup $$f(m,n) = m^2 - n^2$$ çözümüne ulaşılır. Ayrıca bu çözümün, verilen ana denklemi sağladığı kontrol edilebilir. Böylece $f(1000, 996) = 1000^2 - 996^2 = (1000 - 996)(1000 + 996) = 7984$ bulunur.