Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1996 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 03, 2023, 03:57:01 ös
-
$a$ ve $b$ den oluşan $9$ harfli dizilerden kaç tanesi $baba$ kelimesini içerir?
$\textbf{a)}\ 192 \qquad\textbf{b)}\ 186 \qquad\textbf{c)}\ 158 \qquad\textbf{d)}\ 156 \qquad\textbf{e)}\ 154$
-
Yanıt: $\boxed C$
$\begin{array}{lcccccccccl}
1. & b& a& b& a& -& -& -& -&- & : 32\\
2. & -&b &a &b &a &- &- &- &- & : 32\\
3. & -& -& b& a& b& a& -& -&- & : 32 - 8\\
4. & -&- &- &b &a &b &a &- &- & : 32 - 8\\
5. & -& -& -& -& b& a& b& a&- & : 32 - 8\\
6. & -&- &- &- &- &b &a &b &a & : 32- 8 - 2
\end{array}$
$(1)$ İlk dört harf $baba$ olduktan sonra geriye kalan beş harf $2^5 = 32$ farklı şekilde seçilebilir.
$(2)$ $-baba----$ için boştaki beş harf $2^5 = 32$ farklı şekilde seçilir. $(2)$ ile $(1)$ dağılımlarının ortak permütasyonları yoktur.
$(3)$ $--baba---$ için $32$ dağılım yapalım. $(3)$ ile $(2)$ nin ortak dağılımı yoktur; ama $(3)$ ile $(1)$ in ortak dağılımı vardır. $(3)$ teki $bababa---$ ile başlayanlar ($2^3 = 8$ tane) $(1)$ dağılımında sayıldığı için $32 - 8$ farklı dağılım yapılabilir.
$(4)$ $---baba--$ için $32$ dağılım yapalım. $(4)$ ün $(1)$ veya $(3)$ ile ortak dağılımı yoktur; ama $(2)$ ile ortak dağılımı vardır. $(2)$ teki $-bababa--$ ile başlayanlar ($2^3 = 8$ tane) $(2)$ dağılımında sayıldığı için $32 - 8$ farklı dağılım yapılabilir.
$(5)$ $----baba-$ için yapılabilecek $32$ dağılımdan bazıları $(1)$ veya $(3)$ te yer almıştır. $(1)$, $(3)$, $(5)$ in ortak dağılımları $--bababa-$ şeklindedir. Bunların sayısı da $2^3 = 8$ dir. $(5)$ in $(2)$ veya $(4)$ ile ortak dağılımı yoktur.
$(6)$ $-----baba$ için $32$ dağılım yapalım. $(6)$ nın $(3)$ veya $(5)$ ile ortak bir dağılımı yoktur; ama $(4)$ veya $(2)$ veya $(1)$ ile ortak dağılımları vardır. $(2)$ veya $(4)$ ile ortak dağılımlar $---bababa$ şeklinde olup $2^3 = 8$ tanedir. $(1)$ ile ortak dağılımlar $baba-baba$ şeklinde olup $2^1 = 2$ tanedir. O halde $(6)$ için daha önceki dağılımlarda sayılmayan $32 - 8 - 2$ tane yeni dağılım mevcuttur.
Toplamda $6\cdot 32 - 4\cdot 8 - 2 = 5\cdot 32 - 2 = 158$ dağılım mevcuttur.