Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1996 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 03, 2023, 02:32:30 ös
-
$1,4,7,\dots,100$ aritmetik dizisine ait terimlerden $19$ tanesini, bunlardan herhangi farklı ikisinin toplamı $n$'ye eşit olmayacak biçimde seçmemizi aşağıdaki $n$ sayılarından hangisi mümkün kılar?
$\textbf{a)}\ 110 \qquad\textbf{b)}\ 107 \qquad\textbf{c)}\ 104 \qquad\textbf{d)}\ 101 \qquad\textbf{e)}\ 98$
-
Yanıt: $\boxed A$
$\{3n+1\}$ dizisinin ilk $19$ terimi $1,4,7,\dots, 52, 55$ tir. Bu $19$ sayıdan herhangi ikisinin toplamı en fazla $52 + 55 = 107$ olabilir. Dolasıyla $110$ olamaz. O halde yanıt $(A)$ dır. Test için çözüm burada biter.
Diğer sayılar için bu şekilde $19$ sayı seçilemeyeceğini de gösterelim.
Herhangi iki elemanının toplamları $n$ ye eşit olmayan sayıların kümesi $S_n$ olsun.
Toplamları $107$ olan sayı çiftleri $(7, 100), (10, 97), \dots, (52, 55)$ olmak üzere $16$ tanedir. Bu sayı çiftlerinin her birinden sadece bir sayı $S_{107}$ nin elemanı olabilir. $1$ ve $4$ de $S_{107}$ nin elemanı olabilir. O halde $|S_{107}| = 18 < 19$ olabilir.
Toplamları $104$ olan çiftler $(4, 100)$, $(7, 97)$, $\dots$, $(49, 55)$ olmak üzere $16$ tanedir. $1$ ve $52$ ile $S_{104}$ kümesi en fazla $18$ elemanlı olabilir.
Toplamları $101$ olan $17$ çift vardır. $|S_{101}| = 17 < 19$ dur.
Toplamları $98$ olan çiftler $(1, 97)$, $(4, 94)$, $\dots$, $(44, 55)$ olmak üzere $16$ tanedir. $52$ ve $100$ ile birlikte $S_{98}$ en fazla $18$ elemanlı olabilir.
Toplamları $110$ olan çiftler $(10, 100)$, $(13, 97)$, $\dots$, $(52, 58)$ olmak üzere $15$ tanedir. Bu çiftlerin sadece bir elemanı ile $\{1,4,7, 55\}$ kümesini birleştirdiğimizde toplam $15+4 = 19$ elemanlı $S_{110}$ kümesini bulmuş oluruz.