Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: alpercay - Haziran 16, 2008, 08:38:41 ös
-
Başlık yeterince açık sanırım...
x3 + x2 + x + 1 = y3 diyofan denkleminin tamsayı çözümlerini bulunuz.
-
kafadan çözdüm bu soruyu tek sağlayan değerler x=0 ve y=1 dir çünkü ardışık iki tam küp arası tam küp olmaz
x3<x3+x2+x+1<(x+1)3 gördünüz gibi baska değer ler yok
//Edit denizmavisi : Üst simgeler düzeltildi.
-
Bir çözüm daha var Osman.
-
pardon evet -1 ve 0 da var kalem kağır kullan madığım için :-X
-
.
-
x2+2x = y3 ==> (x + 1)2 = y3 + 1 ==> x = kök(y3 + 1) - 1 olur.
Birinci terime -1 eklersek integralin sonuna da 1 eklersek, birinci terim ile ikinci terimin grafikleri orjine göre simetrik olur yani alanlar birbirini dikdörtgene tamamlar. x 0,2 aralığında, aynı zamanda y'de 0,2 aralığındadır. O zaman toplam alan 4 olur. İntegralin sonuna eklediğimiz 1'de sadece dx'in [0,2] aralığındaki değeri olacağından 2 eder ve toplam istenilen alan 4+2=6 olur.
-
Hangi sayı tabanında 297 sayısı 792 sayısının bir bölenidir?
-
sayı tabanı m olsun, 792 = 7m2+9m+2, 297 = 2m2+9m+7
792 - 297 = A = 5m2 - 5
A - 297 = B = 3m2 - 9m - 12
B - 297 = m2 - 18m - 19 olur ve B = 0 olmalı çünkü daha fazla çıkaramayız.
B = (m+1)(m-19) = 0 ==> m = 19
Kontrol edersek, (792)19 = 2700 = 3 x (297)19
-
Daha farklı bir çözüm:
-
...
-
M.S.Klamkin'den Sorular(Şubat 2004)
1. Her x için (x + 1)P(x)=xP(x-1) ya da (x + 1)P(x)=xP(x+1) eşitliğini sağlayan tüm P(x) polinomlarını bulunuz.
2. P(x) = x2n - 2x2n-1 + 3x2n-2-...-2nx + 2n+1 polinomunun reel köklerini bulunuz.
-
1. SORUYA ÇÖZÜM: ilkini çözelim. İkinci de benzer yolla çözülebilir.
x=0 , x=-1 , x=1 aldığımızda sırasıyla P(0)=P(-2)=P(1)=0 buluruz. Demek ki P(x)=Q(x)x(x+2)(x-1) dir.
Bunu soruda yazar ve sadeleştirmeleri yaparsak Q(x)(x+2)=Q(x-1)(x-2) elde ederiz. Bu eşitlikten
...=Q(-1)=Q(0)=Q(1)=0... olduğunu görürüz. Bu ancak Q(x) sabit polinomsa gerçekleşebilir. Bu durumda
soruda istenen tüm polinomlar P(x)=ax(x+2)(x-1) dir. (a reel sayı)
-
integral sorusunda f ve f-1 grafikleri çizilirse integral ile verilen alanların birbirini bütünlediği somut olarak da görülebilir. ( bir arkadaşımız grafikleri de yollayabilirse daha hoş olabilir)
-
soldan başlayarak 1.grafik hiç değiştirilmeden çizilen grafik,
2.grafik integralin 2.bileşeninin x yerine y konulduğu yani x=y'ye göre simetriğinin alındığı grafik
3.grafik 2.bileşenin ters halinin y ekseninde 1 aşağıya çekilmesiyle iki bileşenin üstüste gelerek dikdörtgen oluşturduğu grafiktir.
-
...
-
sinx = 0, olursa cosx = 1 olur. İfade o zaman 1 olur.
-
Evet. Bir de cosx=0,sinx=1 durumu var. Bu durumlar haricinde başka durumun olabileceğini ya da olamayacağını gösterebilir miyiz?
-
"sinx + cosx en fazla 1 değerini alır. sinxcosx < sinx ve cosxsinx < cosx olduğundan ikisinin toplamı 1'i aşamaz yani tam sayı olamaz"
çözümü yanlıştır :D
-
KLAMKIN 2. soru:
Arşivimde buna benzer bi soru vardı.
-
. SORUYA ÇÖZÜM: ilkini çözelim. İkinci de benzer yolla çözülebilir.
x=0 , x=-1 , x=1 aldığımızda sırasıyla P(0)=P(-2)=P(1)=0 buluruz. Demek ki P(x)=Q(x)x(x+2)(x-1) dir.
Bunu soruda yazar ve sadeleştirmeleri yaparsak Q(x)(x+2)=Q(x-1)(x-2) elde ederiz. Bu eşitlikten
...=Q(-1)=Q(0)=Q(1)=0... olduğunu görürüz. Bu ancak Q(x) sabit polinomsa gerçekleşebilir. Bu durumda
soruda istenen tüm polinomlar P(x)=ax(x+2)(x-1) dir. (a reel sayı)
Ediz Hocam yukarda incelediğiniz Klamkin'in ilk sorusundaki ilk eşitlikteki P(x) bir polinom belirtmez sanırım.Her x >= 2 tamsayısı için P(-x ) = 0 olmaktadır.İncelenmesi gereken ikinci bağıntıdır.
-
Evet ben üç tane değere bakıp bırakmıştım. Oysa her x için P(x)=P(-x)=0 oluyor. Bu da P(x) sabit polinom olması anlamına geliyor. Orjinal eşitliği bu polinom sağlamaz sonuç olarak böyle bir polinom yoktur.
-
Ediz hocam, arşivinizden yolladığınız çözümde son adımda 1 - y + y2/2 - ... + y2n/(2n)! ifadesinin neden e-y den büyük olduğu açıklanmadığı için çözüm eksiktir. Bu son eşitsizlikte kanıtlanmalıydı. yani 1 - y + y2/2 - ... + y2n/(2n)! ile e-y nin farkı alınınca arada kalan sonsuz terimli alternatif serinin nerden pozitif bulunduğu açık değil. (Gözden kaçırdığım basit birşey vardır belki, göremedim)
-
(x + 1)P(x)=xP(x+1) eşitliğini sağlayan tüm P(x) polinomlarını bulunuz?
P(x)=x.Q(x) yazarsak Q(x)=Q(x +1) olur ki Q(x) sabit polinomdur.Öyleyse tek çözüm P(x)= k.x şeklindedir.
-
İntegral sorusunda bahsi geçen f ve f-1 fonksiyonlarının grafikleri...
-
Fark pozitiftir çünkü; x ne olursa olsun x^n/n!>x^(n+1)/(n+1)! dir (Belli bir n den sonra. Çünkü n devamlı büyümektedir. )
-
Alper hocam, Klamkin in ikinci sorusuna ait bir çözüm var mı elinizde acaba?
-
2. P(x) = x2n - 2x2n-1 + 3x2n-2-...-2nx + 2n+1 polinomunun reel köklerini bulunuz.
-
M.S.Klamkin'den Sorular(Şubat 2004)
3. x3 + y3 = z6 denkleminin tamsayı çözümlerini bulunuz.
-
...
-
...
-
Ediz Hocam ,Klamkin'in üçüncü sorusuna çözümünüz umduğumdan daha kısa :)Farklı bir çözüm olarak eşitliğin her iki
tarafı mod 7 de incelenebilir.
-
Önce mod 9 da çözmüştüm ben de. Ancak bu daha kısa olunca bunu yolladım.
-
Ediz Hocam Ramanujan'ın sorusunun yanıtı 3 çıkıyor.Bende Ramanujan'ın kendi çözümü var.Sizdeki çözüm nasıldı?
-
Quickie çözüme uygun bir çözüm olmasını istedim.
-
Kesir sorunuzun yanıtını n = 14 buldum ama çözüm bu bölüme pek uygun değil.Bu yüzden yazmadım.Soruyu bir yerlerden hatırlıyorum ama çıkartamadım.(kısmi kesirlere ayırma ile)
-
payı bölersey paydaya ayrılması lazım ama uzun görünüyor
-
...
-
bana kısa bir çözüm gelmedi ama yazayım
x4-5x3-4x2-7x+4=(x2-a)(x2+bx+c)
simdi
düzenlersek
x4+bx3+(a+c)x2+abx+ac=x4-5x3-4x2-7x+4
a,b,c yi bulalım
b=-5
a+c=-4
ab=-7
a=7/5
c=-27/5 yazarsak
(x2+7/5)(x2-5x-27/5)=0 olur doğru yapıp yapmadığımı bilmiyorum kalem kağıtıdım yok çünkü :-\
-
Alper Hocam x3+y3=z6 denkleminin mod 7 ye göre çözümü nasıl acaba? Gönderebilir misiniz? Ben biraz uğraştım ancak mod 7 ye göre çözemedim maalesef.
-
x^3=1-1,0(mod7) de bunu kullanın
-
Onu kullandım zaten. Sen nasıl kullandın?
-
Osman kardeşim, soruda verilen denklemi çarpanlarına ayırıp
(x2+7/5)(x2-5x-27/5)=0
şeklinde bulmuşsunuz. Peki, bu denklemle benim soruda verdiğim denklem aynı mı?
-
dediğim gibi işlem hatası yapmışımdır orda ama katsayıları eşitlerseniz denlklem çıkacaktır
-
İşlem hatası yapmışsınız. Sizin yazdığınız denklemle benim soruda verdiğim denklemin sabit terimleri ayn değil. Ayrıca bu çözüm bence "quickie solution" a uymuyor.
-
Güzel bir quickie question daha...
-
Bir denklem sorusu.
-
ben soruyu dikkatli not etmediğimden tamsayılardaki çözümleri buldum 54 tane olacak ... sizin sorunuzda da bunlardan 27 tane (x,y) çifti bütünüyle pozitif tamsayılardan olşuyor ...
-
Hocam, 20082 = 262512 :)
-
Herhangi bir dizilim seçelim ve 1. ve 2. satırların yerini değiştirelim. Elde ettiğimiz matris ile bir önceki matrisin determinantları toplamı 0'dır. Bütün matrisleri böyle iki gruba ayırıp birbiriyle eşleştirebiliriz. O zaman bütün determinantlar toplamı 0 olur.
(Determinantlar sorusuna)
-
Soru:
x4-5x3-4x2-7x+4 = 0 denkleminin kaç tane negatif kökü vardır?
Çözüm:
x = 0 için f(x) = x4-5x3-4x2-7x+4 ifadesi 4'tür. Yani f(0) = 4
Eğer negatif reel bir kökü varsa denklemin ifade en az bir tane x < 0 için 0'dan küçük yada 0'a eşit bir değer vermek zorundadır ki x eksenini kessin. ( f(x) <= 0 , x = c < 0)
Kolaylık olsun diye x yerine -x koyup x'i artıralım ve f(-x) in ne değerler aldığına bakalım.
f(-x) = x4+5x3-4x2+7x+4,
İfadede tek negatif terim -4x2 'ten gelmelidir. Ama
0<x<=1 için -4x2 + 4 >= 0 ve diğer değerlerle de f(-x) pozitif olur.
x > 1 için ise 5x3 -4x2 > 0 kolayca görülebilir çünkü x > 1 için artık x3 > x2
Çözüm kısa ama anlatım uzun idare edin :)
-
ben soruyu dikkatli not etmediğimden tamsayılardaki çözümleri buldum 54 tane olacak ... sizin sorunuzda da bunlardan 27 tane (x,y) çifti bütünüyle pozitif tamsayılardan olşuyor ...
hocam sorunun cevabı 27 mi 18 mi
-
$(x-2008)(y-2008)=2^6\cdot 251^2$ denklemi incelenirse $2008^2$ sayısının pozitif bölen sayısı $(6+1)(2+1)=21$ dir. O halde denklemin pozitif tam sayılardaki çözüm sayısı da $21$ dir.
-
$a,b,c,d\in \mathbf{Z}$ olmak üzere,
$A=2(a-2b+c)^4+2(b-2c+a)^4+2(c-2a+b)^4$
$B=d(d+1)(d+2)(d+3)+1$. Gösteriniz ki
$(\sqrt{A}+1)^2+B$ bir tamkare değildir.
-
Soru: $y^2=x^3+1$ denkleminin tam sayılardaki çözümlerini bulunuz. (Mordell'in denklemi)
Çözüm: Denklemi yeniden yazarsak $y^2-x^3=1$ elde edilir.
a) (Biraz hile gibi olacak ama :) ) Pozitif tam sayılar kümesindeki çözümler için Mihailescu Teoremi'nden $x^a-y^b=1$ denkleminde $x,y,a,b>1$ için sadece $3^2-2^3=1$ çözümü vardır. Dolayısıyla $y^2-x^3=1$ denkleminin $(x,y)=(2,3)$ hariç çözümleri için $x=1$ veya $y=1$ sağlanmalıdır. Bu durumda da pozitif tam sayılar kümesinde çözüm gelmediği görülebilir. Ayrıca $y^2$ çift derece olduğundan $(2,-3)$ çözümünün de olacağını not ederek devam edelim.
b) $x=0$ ise $y=1$ ve $y=-1$ çözümdür. $y=0$ ise $x=-1$ çözümdür.
c) Geri kalan durumlarda $x<0$ ve $y\not = 0$ olduğundan yola çıkara $x=-m$ olacak şekilde $m$ pozitif tam sayısı aldığımızda
$y^2-1=-m^3$ olur. $|y|\geq 1$ için $y^2-1\geq 0$ olduğundan buradan çözüm gelmez.
Çözüm kümemiz $$\{(-1,0),(0,-1),(0,1),(2,-3),(2,3)\}$$
Not: ($2002$) Mihailescu Teoremi'ne (Eski adıyla Catalan's Conjecture) benzer daha genel bir conjecture daha vardır. Henüz aksi örnek verilmemiş olduğunu hatırlıyorum.
Terai'nin Conjecture'ı : $(x,y)=1$ ve $x,y>1$ olmak üzere $x^a-y^b=n$ denkleminn $n$ sabit bir pozitif tam sayı olmak üzere $x,y,a,b>1$ için maksimum $1$ çözümü vardır . Bu conjecture test sınavlarında faydalı olabilir diye bunu da paylaşmak istedim.