Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1996 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Şubat 03, 2023, 01:47:51 ös
-
$3$ kırmızı$,\ 3$ mavi$,\ 3$ yeşil top rasgele sıralandığında$,$ en az iki kırmızı topun yan yana gelme olasılığı nedir?
$\textbf{a)}\ \dfrac{8}{12} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7}{12} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{6}{12} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{12} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{4}{12}$
-
Yanıt: $\boxed{B}$
$9$ top $9!$ yolla sıralanabilir. Kırmızı topların ayrık konumda olduğu durumları hesaplayalım. Mavi ve yeşil toplar $6!$ yolla sıralanabilir. Bunların en sağına, en soluna veya aralarına kırmızı topları $7\cdot 6\cdot 5$ yolla yerleştirebiliriz. Böylece kırmızı topların ayrık konumda olma olasılığı $p = \dfrac{7\cdot 6\cdot 5 \cdot 6!}{9!} = \dfrac{5}{12}$ dir. İstenen olasılık ise $1-p = \dfrac{7}{12}$ bulunur.
-
Yanıt: $\boxed{B}$
Verilen $9$ top $\dfrac{9!}{3!\cdot 3!\cdot 3!}$ yolla sıralanır. $3$ kırmızı top özdeş olduğundan, iki tanesini blok yapıp en az iki yan yana kırmızı top olmasını sağlayabiliriz.
Mavi ve yeşil toplar $\dfrac{6!}{3!\cdot 3!}=20$ yolla, yapılan bir blok ve diğer kırmızı top ise kalan boşluklara $7^2$ yolla yerleştirilebilir. Dolayısıyla en az iki kırmızı top yan yana $7^2\cdot 20$ farklı yolla gelebilir. İstenen olasılık ise $\dfrac{7^2\cdot 20\cdot (3!)^3}{9!}=\dfrac{7}{12}$ dir.