Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1996 => Konuyu başlatan: alpercay - Şubat 03, 2023, 09:38:07 öö
-
$x$ ve $y$ tam sayı olmak üzere, $x^2-y^2=1996$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ sıralı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 6 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 0 \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}$
-
Yanıt: $\boxed{C}$
$x^2 - y^2 = 1996 = 2^2\cdot 499$ şeklinde asal çarpanlara ayıralım. $1996$ çift sayı olduğundan $x$ ve $y$ beraber çift sayı veya beraber tek sayı olabilir. Her iki durumda da $x+y$ ve $x-y$ çift sayı olmalıdır. İki kare farkından $(x-y)(x+y) = 2^2\cdot 499$ yazılabilir.
$$
\left.
\begin{split}
x + y & = 998 \\
x - y & = 2
\end{split}
\right\}
\quad
\left.
\begin{split}
x + y & = 2 \\
x - y & = 998
\end{split}
\right\}
\quad
\left.
\begin{split}
x + y & = -998 \\
x - y & = -2
\end{split}
\right\}
\quad
\left.
\begin{split}
x + y & = -2 \\
x - y & = -998
\end{split}
\right\}
$$
denklem sistemleri çözülürse $4$ tane $(x,y)$ sıralı ikilisi elde ederiz.