$P$ noktasının yer alabileceği bölgeleri $S_0, S_1, \dots, S_6$ ile gösterelim. $S_i$ bölgesindeki verilen şartları sağlayan $P$ noktasını da $P_i$ diyelim.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8172.0;attach=16333;image)
$P_1$ için $\angle BP_1C = 150^\circ$ ve $P_2$ için $\angle BP_2C = 30^\circ$ olduğunu, diğer $P_i$ noktalarının ise üçgen eşitsizliklerini sağlamadığını göstereceğiz.
$P_1$ için $S_1$ bölgesinde $\triangle ABC \sim \triangle CBD$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. İki üçgenin benzerlik oranı $1:2$ olacaktır. $\triangle CBD$ için de $P_1$ e benzer şekilde bir $Q_1$ noktası alalım. $CQ_1 = 14$, $BQ_1 = 4\sqrt 3$, $DQ_1 = 20$ olacaktır.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8172.0;attach=16331;image)
$\angle ABP_1 = \angle CBQ_1$ olduğu için $\angle ABC = \angle P_1BQ_1 = 60^\circ$ olacaktır.
$BP_1:BQ_1 = 2\sqrt 3 : 4\sqrt 3$ olduğu için de $\triangle Q_1BP$ bir $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgenidir. Bu durumda $P_1Q_1 = 6$ olacaktır.
$\triangle P_1Q_1C$'de Kosinüs Teoremi uygulandığında $\angle Q_1P_1C = 120^\circ$ olacaktır. Bu durumda $\angle BP_1C = 360^\circ - 90^\circ - 120^\circ = 150^\circ$ olur.
$P_2$ için yine $S_1$ bölgesinde $\triangle ABC \sim \triangle CBD$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $\triangle CBD$ için de $P_2$ e benzer şekilde bir $Q_2$ noktası alalım.
$\angle ABP_2 = \angle CBQ_2$ olduğu için $\angle Q_2BP_2 = \angle ABC = 60^\circ$ olacaktır.
$\triangle Q_2BP_2$ bir $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgenidir. $\triangle P_2Q_2C$'de Kosinüs uygulandığında $\angle Q_2P_2C = 120^\circ$ ve $\angle BP_2C = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$ olacaktır.
$S_4, S_5, S_6$ bölgeleri için $\angle BAP_i \geq 90^\circ$ ve $BP=2\sqrt 3 < AP=7$ olduğu için üçgen eşitsizliği sağlanmaz.
$S_0$ için yine aynı $\triangle CBD$ kurulduğunda ve $Q_0$ alındığında $\angle ABP_0 = \angle CBQ_0$ eşitliğinden dolayı $\angle P_0BQ_0 = 60^\circ$, $P_0Q_0 = 6$ elde edilir. $\triangle CP_0Q_0$ da $\angle Q_0P_0C > 90^\circ$ ve $\angle BP_0Q_0 = 90^\circ$ olduğu için $\angle BP_0C > 180^\circ$ olur. Bu da $P_0$ noktasının $S_0$ içerisinde olamayacağı anlamına gelir.
$S_3$ için yine aynı $\triangle CBD$ kurulduğunda ve $Q_3$ alındığında $\angle ABP_3 = \angle CBQ_3$ eşitliğinden dolayı $\angle P_3BQ_3 = 60^\circ$, $P_3Q_3 = 6$ elde edilir. $\triangle CP_3Q_3$ te $\angle Q_3P_3C > 90^\circ$ ve $\angle BP_3Q_3 = 90^\circ$ olduğu için $P_3$ $S_3$ içerisinde yer alamaz.
alpercay hocamın da hesapladığı gibi $P_3$ ve $P_1$ noktaları için $BC = 2\sqrt {13}$ ve $BC = 2\sqrt {43}$ elde edilir. Dolayısıyla $[ABC] = \dfrac {13\sqrt 3}{2}$ ya da $[ABC] = \dfrac {43\sqrt 3}{2}$ elde edilir.