Çözüm: Eğer $P$ noktası $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde olarak düşünülürse, klasik rotasyon dönüşümü (örneğin $APB$ üçgeninin $B$ noktası etrafında negatif yönde $60^\circ$ döndürülmesi) uygulanırsa bu türlü bir çizimin yapılamayacağını anlarız. Yine $P$ noktası üçgenin kenarları üzerinde de olamaz, benzer şekilde çelişkili durumlar oluşur.
O halde $P$ noktasını $ABC$ üçgeninin dış bölgesinde alalım. $APBC$ nin dış bükey bir dörtgen biçiminde olması gerektiğini hissedebiliriz (bkz aşağıdaki şekil).
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8171.0;attach=16309;image)
Öte yandan Ptolemy eşitsizliğinde eşitlik durumu da sağlandığından, çünkü $|PC| = |PA| + |PB|$ dir; $APBC$ nin bir kirişler dörtgeni olduğunu anlarız. $\angle APB = 120^\circ $ olur. Kosinüs teoreminden $|AB|^2 = 1^2 + 2^2 - 2\cdot 1\cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 7$ dir. $Alan(ABC) = \dfrac{|AB|^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{7\sqrt{3}}{4}$ elde edilir.