Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: NazifYILMAZ - Ocak 01, 2023, 11:25:20 öö
-
Bir karenin ayritlari ve köşegenleri mavi yada kırmızı kullanarak boyanacaktir.
A) 2 si mavi 4 ü kırmızı
B) 3 ü mavi 3 ü kırmızı
Olmak uzere kaç farklı şekilde boyama yapılabilir. (Donmeler sonucu olusan şekiller özdeş kabul edilecektir.)
-
Bu haliyle kolayca
(A) $\dbinom{6}{2}\dbinom{4}{4} = 15$ ve
(B) $\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3} = 20$ olur.
Eğer "Karenin merkezi etrafında döndürülmesi sonucu biri diğerinden elde edilen boyamalar özdeş kabul edilecek" denilseydi daha zor bir soru olurdu.
-
Dönmelerin özdeş olduğunu belirtmeyi unutmuşum Lokman hocam
-
Simetriler hesaba katılmadığında yanıtlar $15$ ve $20$ şeklinde küçük değerler olduğu için, simetri varken yanıtlar daha da küçük olacaktır. Bu sebeple, alt durumları birer birer çizmek uygun olacaktır.
(A) $4$ kırmızı, $2$ mavi renk kullanarak aşağıdaki gibi $5$ farklı desen elde edebiliyoruz:
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8170.0;attach=16305;image)
Biraz analiz yapabiliriz. Simetrinin hesaba katılmadığı durumlarda $(A)$ deseni $1$ kez, $(B), (C), (E)$ desenleri $4$ er kez, $(D)$ deseni iki kez görüleceği için; simetrilerin özdeş alınmadığı durumların toplam sayısı $1\cdot 1 + 3\cdot 4 + 1\cdot 2 = 15 $ olur. Bu da yukarıda verdiğimiz $\dbinom{6}{2}=15$ ile uyumludur.
(B) $3$ kırmızı, $3$ mavi renk kullanarak aşağıdaki gibi $6$ farklı desen elde edebiliyoruz:
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8170.0;attach=16307;image)
Burada da biraz analiz yapabiliriz. Simetrinin hesaba katılmadığı durumlarda $(1), (2), (3), (6)$ desenleri $2$ şer kez, $(4), (5)$ desenleri $2$ şer kez görüleceği için; simetrilerin özdeş alınmadığı durumların toplam sayısı $ 4\cdot 4 + 2\cdot 2 = 20 $ olur. Bu da yukarıda verdiğimiz $\dbinom{6}{3} = 20$ ile uyumludur.
-
Üç boyutlu hali farklı ve ilginç bir soru oluşturuyor. Simetriler aynı sayılmak üzere, üç boyutlu köşegenlere de izin verilirse,
- 24 kırmızı 2 mavi renk kullanılarak kaç farklı şekilde boyanabilir?