Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Leonhard Euler - Aralık 25, 2022, 04:10:27 ös
-
$\displaystyle{\int_0^1 x^x dx}$
Bu integral nasıl çözülür?
-
Bu, çözümü detaylı ve meşhur bir integral problemidir. Çeşitli değişken değiştirmeler yapıldıktan sonra bir noktada
$$ \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}dt $$
biçiminde tanımlanan gamma fonksiyonundan faydalanılıyor. $\text{Re}(z)>0$ iken bu integral yakınsaktır. Ayrıca gamma fonksiyonu, doğal sayılarda tanımlanan faktöriyel fonksiyonunun genelleştirilmiş biçimidir. Gamma fonksiyonunun yukarıdaki tanımı kullanılarak her $n\geq 0$ tam sayısı için $\Gamma (n+1) = n!$ olduğu gösterilebilir. Yukarıdaki integralin hesaplanmasında bu faktöriyel eşitliği kullanılmaktadır.
Burada (https://www.youtube.com/watch?v=A54_QPXdkU0) $\displaystyle{\int_0^1 x^x dx}$ integrali ve çok benzer şekilde
şurada (https://www.youtube.com/watch?v=2Fpu9Ylb9_E) $\displaystyle{\int_0^1 x^{-x} dx}$ integrali için hesaplama yapılıyor.
Her ikisi de yakınsak bir seri toplamı biçiminde elde ediliyor. $\LaTeX$ biçiminde yazmak için şimdi uygun değilim. Sonra da tamamlanabilir. Ancak vakti uygun bir topluluk üyemiz çözümü siteye aktarabilirse bu da güzel olur. Türkçe kaynak oluşumuna katkı vermiş oluruz.
-
Aşağıda Matkafası sitesinden Prof.Dr.Doğan Dönmez hocanın sunduğu özet bir çözüm var:
$e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ ve $x^x=e^{x\ln x}$ oluşundan,
$$\int x^x\:dx=\int\sum_{n=0}^\infty\frac{(x\ln x)^n}{n!}\:dx=\sum_{n=0}^\infty\left(\int\frac{x^n(\ln x)^n}{n!}\:dx\right)$$ olur. $\int x^n(\ln x)^n\:dx$ integrali kısmi integrasyonla hesaplanıp yerine konursa $\int x^x\:dx$ bir sonsuz toplam olarak (ama kuvvet serisi değil) bulunur. Buradan da (biraz da limit alarak)
$$\int_0^1 x^x\:dx=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^n}=1-\frac1{2^2}+\frac1{3^3}-\frac1{4^4}+\cdots$$
Bulunur (Johann Bernoulli bulmuş)
Sorunun tartışıldığı link https://www.matkafasi.com/775/begin-equation-int-x-x-dx-end-equation?state=edit-803
Vaktimiz olursa çözümü bir makale tarzında olan bu soruya verilmiş detaylı çözümleri ekleyebiliriz.