Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2013 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Aralık 20, 2022, 07:13:45 ös
-
$\{1,2,3,...,2012\}$ kümesinin$,$ en büyük ve en küçük elemanlarının toplamı $2013$ olan altkümelerinin sayısının $7$'ye bölümünden kalan kaçtır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 5 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 6 \qquad\textbf{e)}\ 1$
-
Cevap: $\boxed{A}$
Bu şartı sağlayan bir altkümenin en küçük elemanı $a$, en büyük elemanı $b$ olsun. $a+b=2013$ tek sayı olduğundan küme tek elemanlı değildir. Eğer $a$ ve $b$'yi sabitlersek, arasında kalan her sayıyı altkümeye koyup çıkartabiliriz. $a+b=2013$ özelliğini sağlayan bir $(a,b)$ pozitif tamsayı çifti için $a+1,a+2,\dots,b-1$ sayıları $b-a-1$ olduğundan $2^{b-a-1}$ sayı oluşturabiliriz. $a$'yi yok edersek, her $a=1008,1009,\dots,2012$ için $2^{b-(2013-b)-1}=2^{2b-2014}$ tane küme vardır. Buradan aranılan altküme sayısı $$\sum_{b=1008}^{2012} 2^{2b-2014}=\frac{1}{2^{2014}}\sum_{b=1008}^{2012} 4^{b}=\frac{4^{1008}}{2^{2014}}\sum_{b'=0}^{1004} 4^{b'}=\frac{2^{2016}}{2^{2014}}\cdot \frac{4^{1005}-1}{4-1}=\frac{4^{1006}-4}{3}$$ elde edilir. Mod $7$'de incelersek, $$\frac{2^{2012}-4}{3}\equiv \frac{2^2\cdot (2^3)^{670}-4}{3}\equiv \frac{2^2-4}{3}\equiv 0\pmod{7}$$ buluruz.