Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2013 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Aralık 20, 2022, 07:07:20 ös

Başlık: 2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17
Gönderen: matematikolimpiyati - Aralık 20, 2022, 07:07:20 ös

$f(x)$ fonksiyonu$,\ x$ sayısının basamak sayısını göstermek üzere$,$

                           $f(a)+f(a^2)+f(a^3)+f(a^4)+ \cdots +f(a^{20})$

toplamı en fazla $2730$ olabiliyorsa$,\ a$ sayısı kaç basamaklıdır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 11  \qquad\textbf{e)}\ 13$

Başlık: Ynt: 2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17
Gönderen: Abdullah demircan - Ekim 12, 2025, 10:07:27 ös

Cevap: $\fbox{E}$

$f(a)=n$ olsun. O halde
$10^{n-1}-1<a<10^{n}$ olur. Bu eşitsizliğe göre herhangi k pozitif tam sayısı için $a^{nk}$ en fazla $nk$ basamaklı olabilir. Buna göre,
$n+2n+3n ....+20n=10.21n=2730$. Buradan da $n=13$ gelir.