Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: eals012 - Aralık 20, 2022, 10:03:18 öö
-
(x-1/x)x fonksiyonunun sonsuzsa limiti var mıdır? Yakınsadığı değer 0.368 gibi ama mantıklı ve tam çözümünü anlatır mısınız?
(olimpiyatla uzun süredir ilgilenmiyorum. O yüzden paslanmışım limiti alınır mı ondan da emin değilim.) :'(
-
$\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)}=\infty - \dfrac{1}{\infty} = \infty - 0 = \infty $ olduğundan $\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^x = \infty^\infty = \infty} $ olur.
Not: Yukarıdaki limitte belirsizlik oluşmadığı için hesaplaması kolaydı. Biraz daha düşündürücü olabilecek benzer yapıda bir soruyu belirsiz limitler (https://geomania.org/forum/index.php?topic=8145.0) başlığı altında sordum. Denemek isteyenler için paylaşmış olayım.
-
Çok özür dileyerek belirtmek istiyorum ki benim söylemek istediğim: limx→∞ ((x-1)/x)x.
pay 1-olurken kuvvet sürekli artıyor.
Bunun çözümü var mı?
-
Expotential fonksiyonun tabanı olan ve Euler sabiti olarak da bilinen $e\approx 2.7182$ sayısı hakkında aşağıdaki teoremi bilmekte fayda var.
Teorem: $\displaystyle {a_n = \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n}$ genel terimiyle tanımlanan $(a_n)$ dizisi üstten sınırlıdır ve monoton artandır. Bu teoremin ispatı için matematik kafası sitesinden buraya (https://matkafasi.com/123746/frac1n-right-right-dizisinin-yakinsak-oldugunu-gosteriniz?show=123770#a123770) ve şuraya (https://matkafasi.com/123829/left-1-frac1n-right-n-to-e-oldugunu-gosteriniz) bakılabilir.
Sonuç: Monoton yakınsaklık teoremi gereği $(a_n)$ dizisinin bir limiti vardır. Bu limit değerini göstermek için bir harf seçiyoruz. Mesela $e$ olsun. O halde $\displaystyle {\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = e$ yazılır. Bu, $e$ sabitinin bir tanımıdır.
Bu teoremi kullanarak $\displaystyle {\lim_{n\to\infty} \left( 1 \color{red}{-} \dfrac{1}{n}\right)^n} = e^{\color{red}{-1}}=\dfrac{1}{e}\approx 0.3678$ elde ederiz.