İkinci soruya odaklanalım. $x^2+y^2=1$ çemberini çizelim. Bu çemberin üzerindeki noktaları parametrize edelim. Çember üzerinde parametrize edeceğimiz nokta ile $(-1,0)$ noktasını bir doğru ile birleştirelim. Bu doğrunun $y$-eksenini kestiği noktasının ordinatı $(\lambda)$ ile parametrizasyonumuzu sağlayacağız. Çember üzerindeki her nokta ($(-1,0)$ hariç) ile $y$-ekseni üzerindeki her nokta birebir-örten olarak eşleşir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8134.0;attach=16275;image)
Verilen denklemin çözümü olan bir $(x,y)$ noktasını alalım. Bu nokta çemberin üzerinde, birinci bölgede yer alacaktır. Bu noktanın $\lambda$'sına bakarsak, basit bir üçgen benzerliği ile $0<\lambda<1$ ve $\lambda$'nın rasyonel sayı olacağını görebiliriz (Hatta $\lambda=\frac{y}{x+1}$ olacaktır).
Eğer $0<\lambda<1$ değeri rasyonel ise bu $\lambda$'ya karşılık gelen nokta $(x,y)$ için $x^2+y^2=1$ ve $\lambda=\frac{y}{x+1}$ olacaktır. $$x^2+y^2=x^2+\lambda^2(x+1)^2=1\implies (1+\lambda^2)x^2+2\lambda^2x+(\lambda^2-1)=(x+1)((1+\lambda^2)x+(\lambda^2-1))=0$$ $$\implies x=\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+1}$$ Yani $x$, ve dolayısıyla $y$ de rasyoneldir. Dolayısıyla burada "ancak ve ancak" ilişkisi vardır. Bizim denklem çözümünü bulmamız için sadece $\lambda$'yı rasyonel olarak incelememiz yeterlidir. Yukarıda bulduğumuz gibi $\lambda$ için $(x,y)=\left(\frac{1-\lambda^2}{\lambda^2+1},\frac{2\lambda}{\lambda^2+1}\right)$ olduğundan $(a,b)=1$ için $\lambda=\frac{a}{b}$ yazarsak $$(x,y)=\left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2},\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)$$ elde edilir.
Pisagor üçlüleri de bu çözümden kolayca $(a,b)=1$ için $(x,y,z)=(b^2-a^2,2ab,a^2+b^2)$ bulunur.