Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2013 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Kasım 02, 2022, 03:32:30 ös
-
$6!$ sayısını böldüğünde $6$ kalanı elde edilen kaç sayı vardır?
$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 12$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Her $a,b\in\mathbb{Z}$ ve $b\neq 0$ için öyle $a=bq+r$ ve $0\leq r<|b|$ olan tek bir $(q,r)$ tamsayı çifti vardır. Buradaki $r$'ye $a$'nın $b$'ye bölümünden kalanı denir. Yani soruda istenilen şartı sağlayan $b$'ler için $$6!\equiv 6\pmod{b}\text{ ve } 6<b$$ olmalıdır. $b\mid 6!-6=714=2\cdot 3\cdot 7\cdot 17$ olduğundan $b$'nin alabileceği $(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=16$ tane pozitif $b$ vardır. Bunlar arasında $6<b$ olmayanlar $1,2,3,6$'dır. Bunları çıkartırsak $16-4=12$ adet istenileni sağlayan $b$ pozitif tamsayısı buluruz.
Not: Kavramlar bazı yerlerde farklı tanımlanabiliyor. Mesela daha önce "$a\equiv b\pmod{n}$ olan her $b$ sayısı $a$'nın $n$'ye bölümünden kalanıdır" şeklinde tanımlar da görmüştüm. Yani $b$'yi $0\leq b<n$ olarak sınırlandırmıyor. Ayrıca yukarda verdiğim tanımdaki gibi pozitiflik de şart değil. Yine de bu soruda pozitif olduğunu varsaydım.