Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2013 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Kasım 02, 2022, 03:08:45 ös
-
$[a]$ ifadesi$,\ a$'dan büyük olmayan en büyük tam sayıyı göstermek üzere$,\ [x^2]-2x+1=0$ denkleminin tüm çözümlerinin toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\ 3 \qquad\textbf{e)}\ 4$
-
Cevap: $\boxed{D}$
$[x^2]=2x-1$ tamsayı olduğundan $2x$ de tamsayıdır. Eğer $2x=n$ dersek, $x=\frac{n}{2}$ olur.
Eğer $n$ çift ($=2m$) ise $x=m$ olacağından denklem $m^2-2m+1=(m-1)^2=0$'dan $m=x=1$ bulunur.
Eğer $n$ tek ($=2m+1$) ise $x=\frac{2m+1}{2}$ ve $[x^2]=\left[\frac{4m^2+4m+1}{4}\right]=m^2+m$ olur ve $$[x^2]-2x+1=m^2-m=m(m-1)=0$$ olur ve $m=0$'dan $x=\frac{1}{2}$ ve $m=1$'den $x=\frac{3}{2}$ çözümü bulunur. Çözümlerin toplamı da $1+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=3$ bulunur.
-
2013'te tüm çözümleri pdf dosyası olarak 18. UAMO (2013) Birinci Aşama Sınavı Soruları (https://geomania.org/forum/index.php?topic=2933.0) başlığında sunmuştuk. Kolaylık için buraya da ekleyebiliriz.
-
Yanıt: $\boxed{D}$
$\bullet $ $x<0$ iken $ [ x^2 ] - 2x + 1 >0 $ olduğundan denklemin çözümü yoktur.
$\bullet $ $x=0$ için denklem sağlamaz.
$\bullet $ $x>0$ iken $2x = [x^2] + 1 $ bir tam sayı olduğundan, $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $x=\dfrac{n}{2}$ biçimindedir. Tam değer fonksiyonunun tanımından dolayı $x^2 - 1 < [x^2] \leq x^2$ eşitsizliği vardır. Dolayısıyla $2x = [x^2] + 1 > x^2$ olup $x<2$ dir. $x=\dfrac{1}{2}$, $x=1$, $x=\dfrac{3}{2}$ değerleri denklemde denenirse bu sayıların birer çözüm olduğu görülür. Toplam $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} = 3$ elde edilir.