Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2012 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Kasım 01, 2022, 09:22:04 ös
-
$x$ ve $y$ reel sayıları için $|y-x|+|y+x|=4$ eşitliği sağlanırsa$,\ y^2+x^2+10x$ ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 15 \qquad\textbf{e)}\ 16$
-
Cevap: $\boxed{B}$
Hem değeri istenilen toplamda hem de verilen eşitlikte $y$ yerine $-y$ yazınca ifadeler değişmediğinden genelliği bozmadan $y\geq 0$ kabul edebiliriz. Bu durumda $y\geq -y$'dir.
- Eğer $-y\geq x$ ise $|y-x|+|y+x|=(y-x)-(y+x)=-2x=4$'den $x=-2$ bulunur. Aralığın tutarlı olması için $2\geq y\geq 0$ olmalıdır.
- Eğer $x\geq y$ ise $|y-x|+|y+x|=-(y-x)+(y+x)=2x=4$'den $x=2$ bulunur, yine aralığın tutarlığı için $2\geq y\geq 0$ olmalıdır.
- Eğer $y>x>-y$ ise $|y-x|+|y+x|=(y-x)+(y+x)=2y=4$'den $y=2$ bulunur. Aralığın tutarlığı için $2>x>-2$ olmalıdır.
Bu durumların her biri için $S=x^2+10x+y^2=(x+5)^2+y^2-25$ ifadesine bakalım.
İlk durumda $x=-2$ olduğundan $S=y^2-16$ olur ve $\max S=-12$, $\min S=-16$ bulunur.
İkinci durumda $x=2$'den $S=y^2+24$ olur ve $\max S= 28$, $\min S=24$ olur.
Üçüncü durumda $y=2$'den $S=(x+5)^2-21$ olur. $$2>x>-2 \iff 7> x+5>3$$ $$\iff 49> (x+5)^2> 9\iff 28> S>-12 $$ Yani $S$'nin alabileceği maksimum değer $28$, minimum değerse $-16$'dır. Bunların toplamı ise $12$'dir.
Not: Eğer metrik uzaylarla ilgilenen biriyseniz bir ihtimal $|y-x|+|y+x|=2r$'nin; köşeleri $(r,r)$, $(-r,r)$, $(r,-r)$ ve $(-r,-r)$ olan kare olduğunu biliyor olabilirsiniz.