Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2012 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 19, 2022, 07:29:00 ös
-
$2122$'den küçük pozitif $x$ tam sayılarının kaç tanesi için $2^x-x^2$ sayısı $7$'ye bölünmez?
$\textbf{a)}\ 1515 \qquad\textbf{b)}\ 1313 \qquad\textbf{c)}\ 1616 \qquad\textbf{d)}\ 1717 \qquad\textbf{e)}\ 1414$
-
Cevap: $\boxed{A}$
$2^x$'in periyodu $3$ ve $x^2$'nin periyodu $7$ olduğundan $2^x-x^2$'nin periyodu $21$ veya bunun bir böleni olacaktır.
$2^x\equiv 1\pmod{7}$ ise (yani $x\equiv 0\pmod{3}$ ise) $x^2\neq 1\pmod{7}$ olmalıdır. Yani $x\neq 1,6\pmod{7}$'dir. $21$ modunda $5$ tane sayı bulabiliriz.
$2^x\equiv 2\pmod{7}$ ise (yani $x\equiv 1\pmod{3}$ ise) $x^2\neq 2\pmod{7}$ olmalıdır. Yani $x\neq 3,4\pmod{7}$ olmalıdır. $21$ modunda $5$ tane bu formatta sayı vardır.
$2^x\equiv 4\pmod{7}$ ise (yani $x\equiv 2\pmod{3}$ ise) $x^2\neq 4\pmod{7}$ olmalıdır. Yani $x\neq 2,5\pmod{7}$ olmalıdır. $21$ modunda $5$ tane bu formatta sayı vardır. Dolayısıyla $21$ modundaki $15$ tane sayı için $2^x-x^2$ ifadesi $7$'ye bölünmez, $6$ tanesi için bölünür.
$1,2,\dots, 2121$ sayılarını $21$ modundaki sayılar olarak $\frac{2121}{21}=101$ gruba ayırabiliriz. Her gruptan $15$ tane sayı geleceğinden aradığımız özelliklere sahip $101\cdot 15=1515$ tane pozitif tamsayı vardır.