Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2012 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 19, 2022, 07:10:06 ös

Başlık: 2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04
Gönderen: matematikolimpiyati - Ekim 19, 2022, 07:10:06 ös

$x^2+3x+c=0$  denkleminin kökleri  $x_1$ ve $x_2$  olmak üzere$,\ c,x_1,x_2$  sayıları verilen sırada bir aritmetik dizi oluşturuyorsa $c(c+12)$  çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 18  \qquad\textbf{b)}\ 21  \qquad\textbf{c)}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ 20  \qquad\textbf{e)}\ 15$

Başlık: Ynt: 2012 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 04
Gönderen: Metin Can Aydemir - Nisan 23, 2023, 12:42:36 öö

Cevap: $\boxed{A}$

Köklerin toplamı Vieta teoreminden $x_1+x_2=-3$'dür. Ayrıca köklerin çarpımı da $x_1x_2=c$'dir. Bize verilen bilgiden $x_2-x_1=x_1-c$ olduğunu yani $$c=2x_1-x_2=3x_1+3\implies x_1=\frac{c-3}{3}\implies x_2=-3-x_1=-\frac{c+6}{3}$$ bulunur. $x_1x_2=c$'de yerine yazarsak $$c=x_1x_2=-\frac{(c-3)(c+6)}{9}\implies (c-3)(c+6)+9c=c^2+12c-18=0$$ elde edilir. Yani $c(c+12)=18$'dir.