Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2011 => Konuyu başlatan: matematikolimpiyati - Ekim 19, 2022, 04:09:34 ös

Başlık: 2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23
Gönderen: matematikolimpiyati - Ekim 19, 2022, 04:09:34 ös

$a_0=2,\ a_1=3$  ve her  $k \geq 1$  için$,\ a_{k+1}=a_k + a_{k-1}$  şeklinde tanımlanmış $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ dizisi veriliyor.

               $S=\dfrac{1}{2^1a_0} \left(\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2}\right) + \dfrac{1}{2^2a_1} \left(\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_3}\right) + \cdots + \dfrac{1}{2^ka_{k-1}} \left(\dfrac{1}{a_k} + \dfrac{1}{a_{k+1}}\right) + \cdots$

sonsuz toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac17  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac16  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac15  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{2}{11}$

Başlık: Ynt: 2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23
Gönderen: ahmedsyldz - Mart 23, 2025, 01:45:04 öö

Her tarafı $a_{k+1}a_{k}a_{k-1}$'e bölersek $\frac{1}{a_{k}a_{k-1}} = \frac{1}{a_{k+1}a_{k-1}} + \frac{1}{a_{k+1}a_{k}}$ elde edilir. Bunu da düzenlersek $\frac{2}{a_{k}a_{k-1}} - \frac{1}{a_{k+1}a_{k}} = \frac{1}{a_{k+1}a_{k-1}} + \frac{1}{a_{k}a_{k-1}}$ olur. Bu durumda $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}(\frac{1}{a_{k+1}a_{k-1}} + \frac{1}{a_{k+1}a_{k}}) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}(\frac{2}{a_{k}a_{k-1}} - \frac{1}{a_{k+1}a_{k}}) = \frac{1}{a_0a_1} - \frac{1}{2a_1a_2} + \frac{1}{2a_1a_2} - \frac{1}{4a_2a_3} + \frac{1}{4a_2a_3} + \cdots = \frac{1}{a_0a_1} = \frac{1}{6}$ olur.