$ABC$ üçgeninin dışına, $[BC]$ kenarını hipotenüs olarak kabul eden $BDC$ ikizkenar dik üçgenini çizelim. $|BD| = |DC| = \dfrac{3}{\sqrt{2}}$ olur. $BPC$ üçgenini $C$ noktası etrafında $45^\circ$ döndürüp $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ oranında küçülterek $DEC$ üçgenini oluşturalım. Diğer bir deyişle, $BPC \sim DEC$ ve benzerliğin oranı $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ olacak şekilde çizim yapıyoruz. $|AP| = a$, $|BP| = b$, $|CP| = c$ dersek $|DE| = \dfrac{b}{\sqrt{2}}$, $|CE| = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olur. $\angle PCB = \angle ECD$ olduğundan $\angle PCE = 45^\circ$'dir. Dolayısıyla $PCE$ üçgeninde kosinüs teoreminden $|PE| = \dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olur. Yani $PEC$ ikizkenar dik üçgendir. Şimdi $|AP|+|PE|+|ED|=a+\dfrac{b}{\sqrt{2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2}}$ olduğunu gözlemleyebiliriz. Bu ise minimum değerini bulmak istediğimiz $a\sqrt{2}+b+c$ toplamının $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ katıdır. Dolayısıyla $|AP|+|PE|+|ED|$ toplamının minimum değerini bulup $\sqrt{2}$ ile genişletmeliyiz. $|AP|+|PE|+|ED|$ yolunun en küçük değerini bulmak için, $A$ noktasını $D$ noktası ile birleştiren en kısa yol bulunmalıdır. Bu ise $|AD|$ uzunluğudur. Matematik diliyle, $|AP|+|PE|+|ED|\geq |AD|$'dir ve eşitlik hâli sadece $A$, $P$, $E$, $D$ noktaları doğrusal iken vardır. $\angle ABD = 135^\circ$ olduğundan $ABD$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa
\[|AD|^2 = 2^2 + \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 - 2\cdot 2\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \cos 135^\circ\]
olup $|AD| = \sqrt{\dfrac{29}{2}}$ bulunur. Dolayısıyla $a\sqrt{2}+b+c\geq \sqrt{2}\cdot |AD|=\sqrt{29}$ elde edilir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=8067.0;attach=17107;image)
Notlar:
- Bu çözüme göre oluşturulan $P$ noktasının gerçekten $ABC$ üçgeninin içinde olduğunu da göstermeliyiz. Bunun için $C$ noktasından $[AD]$ doğru parçasına inilen dikmenin ayağı $E$ olarak işaretlenir. Sonra $P\in [AE]$ ve $|PE| = |CE|$ olacak şekilde $P$ noktası seçilir. $P$ noktası gerçekten $ABC$ üçgeninin içinde kalır.
- 2011 - 16. Antalya Matematik Olimpiyatları Soruları (https://geomania.org/forum/index.php?topic=2206.msg8272#msg8272) bağlantısında sunduğum çözümün yeniden yazımıdır.